Một con mã đang được đặt ở vị trí chính giữa tâm ô vuông \(d4\) trong bàn cờ vua. Thầy Nghĩa di chuyển con mã 4 bước để sau 4 bước đó quân mã quay trở lại vị trí ban đầu với điều kiện 4 bước
21/22
Một con mã đang được đặt ở vị trí chính giữa tâm ô vuông \(d4\) trong bàn cờ vua. Thầy Nghĩa di chuyển con mã 4 bước để sau 4 bước đó quân mã quay trở lại vị trí ban đầu với điều kiện 4 bước đi không trùng 6 nhau. Mỗi bước di chuyển Thầy Nghĩa đều đặt con mã ở các điểm chính giữa tâm ô vuông đó. (4 điểm đặt mã sau 4 bước được xem là 4 điểm ở tâm ô vuông con mà đi đến). Xác suất đường đi của con mã có 4 điểm đặt đó là 4 đỉnh của một hình vuông có dạng \(\frac{a}{b}\) (là phân số tối giản, \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính \(a + 2b\).Cách di chuyển của quân Mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật 2×3 ô vuông. (hoặc 3×2 ô vuông)
Đáp án: 26.
Ta đi tìm không gian mẫu:
Với \(d4\) là điểm xuất phát. Sau bước thứ nhất, quân Mã có thể đi đến 8 ô gồm:
\(c6,e6,f5,f3,e2,c2,b3,b5\)
Mà quân Mã phải quay về đúng vị trí ban đầu nên vị trí đầu tiên và thứ ba quân Mã đi qua phải thuộc 1 trong 8 điểm ở trên và không được lặp lại trùng nhau.
Ta thấy có 3 kiểu đi để hoàn thành 1 chu trình hoàn chỉnh.
+ Kiểu 1: Quân Mã đi đến ô đầu tiên và thứ ba lần lượt ở \(c6\) và \(e6\). Khi đó ô thứ hai ở \(d8\).
Ta thấy rằng trong 8 cặp ô có dạng giống ví dụ trên, nhưng chỉ có 6 cặp là có thể đi được ô thứ 2 nằm trong bàn cờ theo kiểu đi 1. Do đó số cách đi được là: \(6.2 = 12\) cách.
+ Kiểu 2: Quân Mã đi đến ô đầu tiên và thứ ba lần lượt ở \(c6\) và \(f5\). Khi đó ô thứ hai ở \(e7\).
Ta thấy rằng trong 8 cặp ô có dạng giống ví dụ trên. Do đó số cách đi được là \(8.2 = 16\) cách.
+ Kiểu 3: Quân Mã đi đến ô đầu tiên và thứ ba lần lượt ở \(c6\) và \(f3\). Khi đó ô thứ hai ở \(e5\).
Ta thấy rằng trong 8 cặp ô có dạng giống ví dụ trên. Do đó số cách đi được là \(8.2 = 16\) cách.
Tổng số cách di chuyển để quân Mã quay lại \(d4\) sau 4 bước không trùng nhau là:
\(12 + 16 + 16 = 44\) cách. Do đó \(n\left( \Omega \right) = 44\).
Để đường đi của quân Mã tạo thành 1 hình vuông
Ta thấy rằng khi đó, quân Mã sẽ có thể đi theo hai hướng cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ.
Ví dụ:
Quân Mã có thể di chuyển theo thứ tự các ô: \(c6,\,\,e7,\,\,f5,\,\,d4\) (theo chiều kim đồng hồ) hoặc di chuyển theo thứ tự: \(c2,\,\,e1,\,\,f3,\,\,d4\) (ngược chiều kim đồng hồ).
Với mỗi hình vuông tạo được, quân Mã có thể đi được 2 chiều. Ta thấy rằng có thể tạo ra 8 hình vuông giống cách đi ở trên, do đó số cách đi có thể xảy ra là: \(8.2 = 16\) cách.
Vậy xác suất đường đi của con mã có 4 điểm đặt đó là 4 đỉnh của một hình vuông là \(\frac{{16}}{{44}} = \frac{4}{{11}}\).
Khi đó \(a + 2b = 26\).