Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B
15/44
Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông. Người ta cần xây một cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông một khoảng bằng 1 km, thành phố B cách bờ sông một khoảng bằng 4 km, khoảng cách giữa hai đường thẳng đi qua A,B và vuông góc với bờ sông là 10 km (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là nhỏ nhất
CM = 10km
CM = 1km
CM = 2km
CM = 2,5km
Đặt CM = x (với 0≤x≤10) thì DN=10-x
Khi đó AM=x2+1 và BN=BN=10-x2+16=x2-20x+116
Tổng quảng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là
Do MN không đổi nên tổng quảng đường nhỏ nhất khi và chỉ khi
AM+BN=x2+1+x2-20x+116
nhỏ nhất.
Xét hàm số fx=x2+1+x2-20x+116 với x∈0;10
Ta có f'x=xx2+1+x-10x2-2x+116
Khi đó
f'x=0⇔xx2-2x+116=10-xx2+1⇔x2x2-20x+116=x2-20x+100x2+1⇔16x2=x2-20x+100⇔15x2+20x-100=0⇔x=-103;x=2
Do x∈0;10 nên ta chọn x = 2
Ta có f0=11;f2=55;f10=2+101
Suy ra minx∈0;10fx=55⇔x=2
Vậy CM = 2km
Đáp án C