Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách 300 k m để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là 6 k m / h . Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v k m / h th

11/11

Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách \[300\,{\rm{km}}\]để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là \[6\,{\rm{km/h}}\]. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \[v{\rm{ km/h}}\] thì năng lượng tiêu hao của cả trong \(t\) giờ cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\) trong đó \(c\) là hàng số cho trước. \(E\) tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên (đơn vị: km/h), để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất?

Giải thích

Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là \(v - 6\), khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\).

Khi đó, \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{300}}{{v - 6}}\) với \(v > 6\). Đặt \(x = v - 6\).

Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số:

\[f\left( x \right) = 300c\frac{{{{\left( {x + 6} \right)}^3}}}{x} = 300c\left( {{x^2} + 18x + 108 + \frac{{216}}{x}} \right)\] với \(x > 0\).

Ta có: \[f'\left( x \right) = 300c\left( {2x + 18 - \frac{{216}}{{{x^2}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 18{x^2} - 216 = 0 \Rightarrow x = 3\].

Bảng biến thiên:

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\) hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là \(v = 9\,{\rm{km/h}}\) thì cá ít tốn năng lượng nhất.

Đáp án: 9.