Một con báo đen đang đuổi theo một con ngựa vằn. Con ngựa vằn nhận ra con báo đen cách xa nó 40 m. Từ thời điểm này, con báo đen đuổi theo con ngựa vằn với tốc độ v 1 ( t ) = 15 e^ − 0 , 1 t

77/94

Một con báo đen đang đuổi theo một con ngựa vằn. Con ngựa vằn nhận ra con báo đen cách xa nó 40 m. Từ thời điểm này, con báo đen đuổi theo con ngựa vằn với tốc độ ${v_1}\left( t \right) = 15{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;m}}/$ s và con ngựa vằn chạy trốn với tốc độ ${v_2}\left( t \right) = 20 - 20{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;m}}/$ s trên cùng một đường thẳng (với tính theo giây và $0 \le t \le 60$ )

Đáp án cần chọn là: 8 ; 16 (ảnh 1)

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Tốc độ của báo đen giảm dần theo thời gian, trong khi đó tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.

ĐúngSai

Báo đen ở gần ngựa vằn nhất khi $v_{1}^{'} (t) = v_{2}^{'} (t)$

ĐúngSai

Báo đen sẽ không bắt được ngựa vằn và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là $21,83{\rm{\;m}}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

ĐúngSai

Giải thích

Giải chi tiết

1.Đúng vì $v_{1}^{'} (t) = - 0, 1.15 e^{- 0, 1 t} < 0 \Rightarrow v_{1} (t)$ luôn nghịch biến tức là báo đen có tốc độ giảm dần
$v_{2} (t) = 20 - 20 e^{- 0, 1 t} \Rightarrow v_{2}^{'} = 2. e^{- 0, 1 t} > 0$ nên tốc độ ngựa vằn tăng.

2.Sai. Quãng đường của báo đen đi là:
${x_1} = \smallint {v_1}\left( t \right)dt = \smallint 15 \cdot {e^{ - 0,1t}}dt = - 150{e^{ - 0,1t}} + {C_1}$${x_1}\left( 0 \right) = - 150{e^0} + {C_1} = 0 \Leftrightarrow {C_1} = 150 \Rightarrow {x_1} = - 150{e^{ - 0,1t}} + 150$Tương tự quãng đường của ngựa vằn đi là:
${x_2}\left( t \right) = \smallint {v_2}\left( t \right)dt = \smallint \left( {20 - 20{e^{ - 0,1t}}} \right)dt = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} + {C_2}$${x_2}\left( 0 \right) = 20.0 + 200.{e^0} + {C_2} = 40 \Leftrightarrow {C_2} = 40 - 200 = - 160$$ \Rightarrow {x_2}\left( t \right) = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160$Khoảng cách báo đen và ngựa vằn là
${\rm{\Delta }}x = {x_2} - {x_1} = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160 + 150{e^{ - 0,1t}} - 150 = 20t + 250{e^{ - 0,1t}} - 310 = f\left( t \right)$Xét $f'\left( t \right) = 20 - 35{e^{ - 0,1t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0,1t}} = \frac{{20}}{{35}} \Leftrightarrow t = - 10{\rm{ln}}\left( {\frac{{20}}{{35}}} \right)$
Khi đó ${\rm{min}}f\left( t \right) = f\left( { - 10{\rm{ln}}\frac{{20}}{{35}}} \right) \approx 1,92315$
Khoảng cách min này đạt được khi $x_{2}^{'} = x_{1}^{'} \Leftrightarrow v_{2} = v_{1}$ điều này là sai
Vậy 2,3 sai.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S