Một cốc cà phê nóng có nhiệt độ ban đầu là 80°C được đặt trong một phòng có nhiệt độ ổn định là 20°C. Sau 15 phút, nhiệt độ của cốc cà phê giảm xuống còn 50°C (hình vẽ minh họa).
15/22
Một cốc cà phê nóng có nhiệt độ ban đầu là \(80^\circ C\) được đặt trong một phòng có nhiệt độ ổn định là \(20^\circ C\). Sau \(15\) phút, nhiệt độ của cốc cà phê giảm xuống còn \(50^\circ C\)(hình vẽ minh họa). Gọi \(T\left( t \right)\) là nhiệt độ của cốc cà phê tại thời điểm \(t\) (phút) và \(y\left( t \right) = T\left( t \right) - 20\) là chênh lệch nhiệt độ giữa cà phê và môi trường. Biết rằng tốc độ thay đổi chênh lệch nhiệt độ tỉ lệ thuận với chính nó, tức là \(y'\left( t \right) = k \cdot y\left( t \right)\) (với \(k\) là hằng số). 
Hằng số tốc độ làm mát của cốc cà phê \(k = \frac{1}{{15}}\ln 2\).
Sau \(30\) phút kể từ khi đặt vào phòng, nhiệt độ của cốc cà phê là \(30^\circ C\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
\(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{kt}}\) với mọi \(t \ge 0\).
Tại thời điểm ban đầu \(\left( {t = 0} \right)\), giá trị của hằng số \(C\) trong biểu thức \(y\left( t \right) = {{\rm{e}}^{kt + C}}\) là \(C = \ln 60\).
Chọn a) Sai | b) Sai| c) Sai | d) Đúng
a) Ta có \(y'\left( t \right) = k \cdot y\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{y'}}{y} = k\)
\( \Leftrightarrow \int {\frac{{y'}}{y}{\rm{d}}t = \int {k{\rm{ d}}t} } \)\( \Leftrightarrow \int {\frac{{{\rm{d}}y}}{y} = k\int {{\rm{d}}t} } \Leftrightarrow \ln y\left( t \right) = kt + C\)
\( \Rightarrow y\left( t \right) = {{\rm{e}}^{kt + C}}\).
Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(y\left( 0 \right) = T\left( 0 \right) - 20 = 80 - 20 = 60\).
Do đó \(60 = {{\rm{e}}^C} \Leftrightarrow C = \ln 60\).
Suy ra \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{kt}}\).
Tại \(t = 15\), ta có \(y\left( {15} \right) = T\left( {15} \right) - 20 = 50 - 20 = 30\).
Suy ra \(30 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{k \cdot 15}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{k \cdot 15}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - \frac{1}{{15}} \cdot \ln 2\)
Do đó \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}}\).
Chọn SAI.
b) Ta có \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}}\) suy ra \(T\left( t \right) = y\left( t \right) + 20 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot t}} + 20\).
\( \Rightarrow T\left( {30} \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - \frac{1}{{15}}\ln 2 \cdot 30}} + 20 = 60 \cdot {{\rm{e}}^{ - 2\ln 2}} + 20 = 60 \cdot {2^{ - 2}} + 20 = 35\).
Chọn SAI.
c) Theo trên, ta có \(y\left( t \right) = 60 \cdot {{\rm{e}}^{kt}}\).
Chọn ĐÚNG.
d) Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(y\left( 0 \right) = T\left( 0 \right) - 20 = 80 - 20 = 60\).
Do đó \(60 = {{\rm{e}}^C} \Leftrightarrow C = \ln 60\).
Chọn ĐÚNG.