Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa 300 lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất x lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là một triệu đồng/ngày; chi phí nguyên v

18/22

Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa 300 lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất x lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là một triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là 35 nghìn đồng cho một lít sữa được sản xuất; chi phí bảo dưỡng máy móc là \({C_b}\left( x \right) = 0,00001{x^2}\) (triệu đồng). Ngoài ra, nếu x lít sữa sản xuất mỗi ngày vượt 200 lít thì ngoài các chi phí trên còn phát sinh thêm chi phí do vận hành quá tải là \({C_v}\left( x \right) = 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\) (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là 60 nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Doanh thu từ việc bán \(x\) lít sữa là: \(R\left( x \right) = 0,06x\) (triệu đồng).

Tổng chi phí sản xuất \(x\) lít sữa mỗi ngày:

Nếu \(0 \le x \le 200\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2}\).
Nếu \(200 < x \le 300\): \(C\left( x \right) = 1 + 0,035x + 0,00001{x^2} + 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Hàm lợi nhuận \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\).

Trường hợp 1: Khi \(0 \le x \le 200\).

Ta có \({P_1}\left( x \right) = 0,06x - \left( {1 + 0,035x + 0,00001{x^2}} \right) = - 0,00001{x^2} + 0,025x - 1\)

Đạo hàm: \({P_1}^\prime \left( x \right) = - 0,00002x + 0,025\).

Cho \({P_1}^\prime \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{0,025}}{{0,00002}} = 1250\) (Không thuộc khoảng \(\left[ {0;200} \right]\)).

Vì \({P_1}^\prime \left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;200} \right]\) nên hàm số đồng biến trên đoạn này.

Lợi nhuận lớn nhất trong giai đoạn này đạt được tại \(x = 200\):

\({P_1}\left( {200} \right) = - 0,00001 \cdot {200^2} + 0,025 \cdot 200 - 1 = - 0,4 + 5 - 1 = 3,6\) (triệu đồng).

Trường hợp 2: Khi \(200 < x \le 300\).

Ta có \({P_2}\left( x \right) = 0,06x - 1 - 0,035x - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\)

\( = 0,025x - 1 - 0,00001{x^2} - 0,00003{\left( {x - 200} \right)^3}\).

Đạo hàm: \({P'_2}\left( x \right) = 0,025 - 0,00002x - 0,00009{\left( {x - 200} \right)^2} = - 0,00009{x^2} + 0,03598x - 3,575\).

Cho \({P'_2}\left( x \right) = 0 \Rightarrow x \approx 215,16 \in \left[ {200;300} \right)\).

Lập bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x \approx 215,16\).

Ta có \({P_2}\left( {215,16} \right) \approx 3,81\) là giá trị cực đại của hàm số, hay chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( {200;300} \right]\).

Xét cả hai trường hợp, ta thu được lợi nhuận lớn nhất xấp xỉ \(3,81\) triệu đồng.

Đáp số: 3,81.