Một cơ sở sản xuất lụa dệt thủ công hai loại lụa gấm và lụa tơ tằm. Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là 100 m lụa, biết rằng tiền nguyên liệu cho một mét lụa gấm là 20 nghìn đồng

Lời giải

Đáp số: 260

Gọi \(x\) là số mét lụa gấm và \(y\) là số mét lụa tơ tằm mà cơ sở sản xuất mỗi ngày (\(x,y \ge 0\)).

Tổng công suất tối đa của xưởng là \(100\;m\) lụa mỗi ngày, suy ra: \(x + y \le 100\)

Tiền nguyên liệu cho \(1\) mét lụa gấm là \(20\) nghìn đồng.

Tiền nguyên liệu cho \(1\) mét lụa tơ tằm là \(10\) nghìn đồng.

Tiền công thợ cho \(1\) mét lụa gấm cần \(2\) công thợ.

Tiền công thợ cho \(1\) mét lụa tơ tằm cần \(1\) công thợ.

Tiền lương của một công thợ là \(40\) nghìn đồng.

Tổng chi phí nguyên vật liệu và công thợ cho \(x\) mét lụa gấm và \(y\) mét lụa tơ tằm là:

\(C = (20x + 10y) + (2x \cdot 40 + 1y \cdot 40)\)\( = 100x + 50y\) (nghìn đồng)

Vốn của xưởng một ngày không quá \(6\) triệu đồng, tức là \(6000\) nghìn đồng, suy ra:\(100x + 50y \le 6000\)\( \Leftrightarrow 2x + y \le 120\)

Vậy, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 100}\\{2x + y \le 120}\end{array}} \right.\)

Giá bán \(1\) mét lụa gấm là \(150\) nghìn đồng. Giá bán \(1\) mét lụa tơ tằm là \(80\) nghìn đồng.

Tổng doanh thu \(R = 150x + 80y\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận \(L\) mà cơ sở thu được là: \(L = R - C = (150x + 80y) - (100x + 50y) = 50x + 30y\).

Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Miền nghiệm là đa giác \(OABC\) với các đỉnh:

- \(O(0,0)\)

- \(A\): Giao điểm của \(y = 0\) và \(2x + y = 120 \Rightarrow \)\(A(60,0)\).

- \(B\): Giao điểm của \(x + y = 100\) và \(2x + y = 120\)\( \Rightarrow \)\(B(20,80)\).

- \(C\): Giao điểm của \(x = 0\) và \(x + y = 100 \Rightarrow \) \(C(0,100)\).

5. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh:

- Tại \(O(0,0)\): \(L = 50(0) + 30(0) = 0\)

- Tại \(A(60,0)\): \(L = 50(60) + 30(0) = 3000\)

- Tại \(B(20,80)\): \(L = 50(20) + 30(80) = 1000 + 2400 = 3400\)

- Tại \(C(0,100)\): \(L = 50(0) + 30(100) = 3000\)

Giá trị lớn nhất của lợi nhuận là \(3400\) (nghìn đồng) đạt được tại \(x = 20\) và \(y = 80\).

Đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức \(x + 3y\) khi lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

\(x + 3y = 20 + 3(80) = 20 + 240 = 260\).