Một cơ sở sản xuất lụa dệt thủ công hai loại lụa gấm và lụa tơ tằm. Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là 100 m lụa, biết rằng tiền nguyên

18/22

Một cơ sở sản xuất lụa dệt thủ công hai loại lụa gấm và lụa tơ tằm. Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là $100{\rm{m}}$ lụa, biết rằng tiền nguyên liệu cho một mét lụa gấm là $20$ nghìn đồng và cần hai công thợ để dệt xong, còn đối với lụa tơ tằm thì cần $10$ nghìn đồng tiền nguyên liệu và một công thợ. Vốn của xưởng một ngày là không quá $6$ triệu đồng và một công thợ là $40$ nghìn đồng. Giá bán lẻ một mét lụa gấm và tơ tằm lần lượt là $150$ nghìn đồng/mét và $80$ nghìn đồng/mét. Vậy chủ cơ sở cần sản xuất một ngày $x$ mét lụa gấm và $y$ mét lụa tơ tằm để thu lời nhiều nhất (Giả sử mỗi ngày đều bán hết). Tính giá trị của biểu thức $x + 3y$.

Giải thích

Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là $100{\rm{m}}$ lụa: $x + y \le 100$.

Chi phí cho mỗi mét lụa gấm: $20 + 2 \times 40 = 100$ (nghìn đồng).

Chi phí cho mỗi mét lụa tơ tằm: $10 + 1 \times 40 = 50$ (nghìn đồng).

Vốn của xưởng một ngày là không quá $6$ triệu đồng: $100x + 50y \le 6000 \Leftrightarrow 2x + y \le 120$.

Lợi nhuận thu từ mỗi mét lụa gấm: $150 - 100 = 50$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận thu từ mỗi mét lụa tơ tằm: $80 - 50 = 30$ (nghìn đồng).

Hàm tổng lợi nhuận: $P\left( {x,y} \right) = 50x + 30y$. Bài toán đưa về tìm $x$, $y$ là nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 100\\2x + y \le 120\\x,y \ge 0\end{array} \right.\] sao cho $P\left( {x,y} \right) = 50x + 30y$ có giá trị lớn nhất.

$Một cơ sở sản xuất lụa dệt thủ công hai loại lụa gấm và lụa tơ tằm. Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là $100{\rm{m}}$ lụa (ảnh 1)$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ như hình trên với , $B\left( {20;80} \right)$, và $C\left( {60;0} \right)$. Biểu thức $P\left( {x,y} \right) = 50x + 30y$ tại một trong các đỉnh này:

+ ${P_A} = 50 \times 0 + 30 \times 100 = 3000$;

+ ${P_B} = 50 \times 20 + 30 \times 80 = 3400$;

+ ${P_C} = 50 \times 60 + 30 \times 0 = 3000$.

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $3400$ nghìn đồng hay $3,4$ triệu đồng khi sản xuất $20$ mét lụa gấm và $80$ mét lụa tơ tằm. Do đó, $x + 3y = 20 + 3 \times 80 = 260$.