Một chiến dịch xét nghiệm tầm soát diện rộng được tổ chức để phát hiện sớm một căn bệnh truyền nhiễm. Theo thống kê y tế, tỉ lệ người mắc bệnh này trong cộng đồng là 1%. Loại test nhanh được

Gọi biến cố A: “người mắc bệnh này trong cộng đồng”

                    B: “test nhanh cho kết quả dương tính”

Theo đề bài ta có:\[P\left( A \right) = 1\%  = 0,01;\]   \[ \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 99\% ;\] \[P\left( {B\left| A \right.} \right) = 99\% ;\] \[P\left( {\overline B \left| {\overline A } \right.} \right) = 96\% ;\]

Ta có sơ đồ cây:

a) Xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính của một người mắc bệnh là

\[P\left( {\overline B \left| A \right.} \right) = 1\%  = 0,01\].

Nên mệnh đề a đúng

b) Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính của một người không mắc bệnh là \[P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 4\%  = 0,04\].

Nên mệnh đề b đúng

c) Xác suất để một người bất kỳ trong cộng đồng đi xét nghiệm nhận kết quả dương tính là

\[P(B) = P\left( {B\left| A \right.} \right).P(A) + P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right).P(\overline A ) = 1\% .{\rm{ }}99\% {\rm{ }} + {\rm{ }}99\% .{\rm{ }}4\% {\rm{ }} = {\rm{ }}0,0495\].

Nên mệnh đề c sai

d) Biết rằng một người có kết quả test nhanh là dương tính, xác suất để người đó thực sự mắc bệnh là

Theo công thức Bayes

\[P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{99\% .1\% }}{{0,0495}} = 0,2\].

Nên mệnh đề d đúng