Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài 40 km hết 4 giờ 30 phút Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km. Tính vận tốc dòng nước

Gọi \(x,\,\,y\) (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước \(\left( {x > y > 0} \right).\)

Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: \(x + y\) (km/h).

Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: \(x - y\) (km/h).

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(40\) km là: \(\frac{{40}}{{x + y}}\) (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng \(40\) km là: \[\frac{{40}}{{x - y}}\] (giờ).

Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\)km hết \(4\)giờ \(30\)phút \(( = 4,5\) giờ) nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\).   (1)

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(5\) km là: \(\frac{5}{{x + y}}\) (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng \(4\) km là: \[\frac{4}{{x - y}}\] (giờ).

Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\)km nên ta có phương trình: \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\)

Đặt \(a = \frac{1}{{x + y}}\) và \(b = \frac{1}{{x - y}}\)\(\left( {a > 0;\,\,b > 0} \right)\), ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a = 4b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a - 4b = 0\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 10, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\50a - 40b = 0\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(90a = 4,5\), suy ra \(a = \frac{1}{{20}}\) (thỏa mãn).

Thay \(a = \frac{1}{{20}}\) vào phương trình \(5a = 4b\), ta được:

\[5 \cdot \frac{1}{{20}} = 4b,\] suy ra \(b = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn).

Với \(a = \frac{1}{{20}}\) ta có \(\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{20}}\) suy ra \(x + y = 20\). (3)

Với \(b = \frac{1}{{16}}\) ta có: \(\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{16}}\) suy ra \(x - y = 16\).   (4)

Từ phương trình (3) và phương trình (4), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 20}\\{x - y = 16}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(2x = 36,\) suy ra \(x = 18\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 18\) vào phương trình \(x + y = 20\), ta được:

\(18 + y = 20\), suy ra \(y = 2\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.