Một chiếc thuyền ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km
19/22
Một chiếc thuyền ở vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng \(AB\) bằng \(5{\rm{km}}\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng \(7{\rm{km}}\). Người lái thuyền dự định chèo thuyền từ \(A\) đến điểm\(M\)trên bờ biển với vận tốc \(1,2\,{\rm{m/s}}\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(1,8\,{\rm{m/s}}\)(hình vẽ). Điểm \(M\) cách \(B\) bao nhiêu để người đó đến kho của mình nhanh nhất.
Lời giải
Đáp án: 4,47.
Đặt \(BM = x,\,\,\left( {0 \le x \le 7} \right)\).
Khi đó \(MC = 7 - x\).
\(AM = \sqrt {25 + {x^2}} \).
Vận tốc chèo thuyền là: \(1,2\left( {{\rm{m/s}}} \right){\rm{ = }}4,32\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Vận tốc đi bộ là:\(1,8\left( {{\rm{m/s}}} \right) = 6,48\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(C\): \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {25 + {x^2}} }}{{4,32}} + \frac{{7 - x}}{{6,48}}\).
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{4,32}}.\frac{x}{{\sqrt {25 + {x^2}} }} - \frac{1}{{6,48}}\).
\(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{4,32\sqrt {25 + {x^2}} }} = \frac{1}{{6,48}} \Leftrightarrow {x^2} = 20 \Leftrightarrow x = \sqrt {20} ,\,\,\left( {0 \le x \le 7} \right)\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có khoảng cách từ \(M\) đến \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 2\sqrt 5 \approx 4,47\,{\rm{km}}\).