Một chiếc thang được dựng lên sao cho một đầu của thang chạm mặt đất và đầu còn lại

\(\)Gọi \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)là góc tạo bởi thang và mặt đất.

Ta có \(AM = \frac{1}{{2\cos \alpha }},BM = \frac{4}{{\sin \alpha }},\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Chiều dài của thang là \(AM + BM = \frac{1}{{2\cos \alpha }} + \frac{4}{{\sin \alpha }} = f(\alpha ).\)

Ta có \(f'(\alpha ) = \frac{{ - 8{{\cos }^3}\alpha + {{\sin }^3}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha \cdot {{\cos }^2}\alpha }} = 0 \Leftrightarrow - 8{\cos ^3}\alpha + {\sin ^3}\alpha = 0 \Leftrightarrow \tan \alpha = 2 \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\\\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.\)

Vậy chiều dài nhỏ nhất của thang là \(AM + BM = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}(m).\)

Đáp án cần chọn là: D