Một chiếc rương vàng có phần thân là một khối hộp chữ nhật được đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: dm) sao cho các đỉnh có tọa độ là A(0;0;0); B(6;0;0); D(0;4;0) và M(0;0;2).

Từ tọa độ các điểm\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {6;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\) và \(M\left( {0;0;2} \right)\) ta xác định được kích thước phần thân hộp (hình hộp chữ nhật):
Chiều dài \(AB = 6\)(nằm trên trục\(Ox\)) và chiều rộng \(AD = 4\)(nằm trên trục\(Oy\))
Chiều cao \(AM = 2\)(nằm trên trục\(Oz\))
Tọa độ các đỉnh khác \(C\left( {6;4;0} \right)\), \(N\left( {6;0;2} \right)\), \(P\left( {6;4;2} \right)\),\(Q\left( {0;4;2} \right)\)
Đường kính đáy là \(MQ = 4\) hoặc \(NP = 4\) suy ra bán kính\(R = 2\)
Chiều dài nắp hộp (trục song song \(Ox\)) là \(L = MN = 6\)
Tâm của hai nửa đường tròn đáy lần lượt là trung điểm của \(MQ\)và \[NP\]: \(K\left( {0;2;2} \right)\)và \(H\left( {6;2;2} \right)\)
Xét mệnh đề a)
Điểm \(T\) là điểm cao nhất của nắp hộp, nên nó nằm trên đường thẳng cao nhất của nửa hình trụ. Đường này đi qua điểm cao nhất của hai đáy.
Tại đáy\(MQ\), điểm cao nhất có tọa độ \(y = {y_K} = 2\) và\(z = {z_K} + R = 2 + 2 = 4\).
Điểm \(T\)nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng\(AB\). Vì\(A\left( {0;0;0} \right)\)và \(B\left( {6;0;0} \right)\)nên mặt phẳng trung trực là\(x = \frac{{0 + 6}}{2} = 3\).
Vậy tọa độ \(T\left( {3;2;4} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Ta có \(B\left( {6;0;0} \right)\),\(D\left( {0;4;0} \right)\),\(P\left( {6;4;2} \right)\) nên vectơ \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 6;4;0} \right)\)và\(\overrightarrow {BP} = \left( {0;4;2} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BDP} \right)\)là: \(\overrightarrow {{n_{\left( {BDP} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BP} } \right] = \left( {8;12; - 24} \right) = 4\left( {2;3; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( {BDP} \right)\): \(2x + 3y - 6z - 12 = 0\)
Khoảng cách từ \(A\left( {0;0;0} \right)\)đến \(\left( {BDP} \right)\):\(d = \frac{{|2.0 + 3.0 - 6.0 - 12|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{12}}{7}\)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Thể tích phần thân (hình hộp):\({V_1} = 6.4.2 = 48\)dm3.
Thể tích phần nắp (nửa hình trụ):\({V_2} = \frac{1}{2}.\pi {R^2}.L = \frac{1}{2}.\pi {.2^2}.6 = 12\pi \) dm3
Tổng thể tích:\(V = {V_1} + {V_2} = 48 + 12\pi \)dm3 nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Để tìm quãng đường ngắn nhất trên mặt cong của nửa hình trụ, ta trải mặt cong này ra mặt phẳng.
Mặt cong là một hình chữ nhật có một cạnh là chiều dài nắp\(L = 6\),
Cạnh kia là độ dài cung tròn: \(MQ = \pi R = 2\pi \)
Trong mặt phẳng trải rộng này quãng đường ngắn nhất là đường chéo của hình chữ nhật:
\(S = \sqrt {{6^2} + {{\left( {2\pi } \right)}^2}} \approx 8,69\)dm nên mệnh đề d) sai