Một chiếc phao bơi có đường kính trong là 40 cm và đường kính ngoài là 80 cm như hình vẽ.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Thể tích khối tròn xoay được tạo ra từ việc quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) quanh trục hoành là\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải

Bán kính đường tròn lớn \(R\) và đường tròn nhỏ \(r\) của chiếc phao lần lượt là \(R = \frac{{80}}{2} = 40\) (cm) và \(r = \frac{{40}}{2} = 20\)(cm).

Đặt hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm chiếc phao, trục \(Ox\) vuông với mặt phẳng chứa đường kính chiếc phao. Khi đó, gọi giao tuyến phía trên trục hoành của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) với bề mặt chiếc phao là đường tròn (C) (tham khảo hình vẽ).

Hoành độ tâm I của đường tròn \(\left( C \right)\) là 0.

Tung độ tâm I của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(\frac{{R + r}}{2} = \frac{{40 + 20}}{2} = 30\).

Bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(\frac{{R - r}}{2} = \frac{{40 - 20}}{2} = 10\).

Nên phương trình đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {(y - 30)^2} = 100\).

Bề mặt chiếc phao bơi được tạo ra từ việc quay đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {(y - 30)^2} = 100\) quanh trục \(Ox\).

Ta có \({x^2} + {(y - 30)^2} = 100 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 30 + \sqrt {100 - {x^2}} }\\{y = 30 - \sqrt {100 - {x^2}} }\end{array}} \right.\).

Do đó, thể tích chiếc phao bơi được tạo ra từ việc quay hình tròn (C), hay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 30 + \sqrt {100 - {x^2}} ,y = 30 - \sqrt {100 - {x^2}} \) và hai đường thẳng \(x = - 10,x = 10\) là

\(V = \pi \int\limits_{ - 10}^{10} {\left| {{{\left( {30 + \sqrt {100 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {30 - \sqrt {100 - {x^2}} } \right)}^2}} \right|dx} = 6000{\pi ^2}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)