Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc

29/42

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1\,;\,3} \right]\),\(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;3} \right]\), đồng thời \[f'\left( x \right){\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\] và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = a\ln 3 + b\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\), tính tổng \(S = a + {b^2}\).

\(S = 2\).

\(S = - 1\).

\(S = 4\).

\(S = 0\).

Giải thích

Với \(x \in \left[ {1;\,\,3} \right]\) ta có:

\[f'\left( x \right){\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right){{\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^4}}} = {\left( {x - 1} \right)^2}\].

\[\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^4}}} + \frac{2}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^3}}} + \frac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}} \right)f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1\]

Suy ra: \[ - \frac{1}{{3{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^3}}} - \frac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\] .

Ta lại có:\[f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 + C \Rightarrow C = 0\].

Dẫn đến: \[ - \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^2} - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{3}{\left( { - x} \right)^3} - {\left( { - x} \right)^2} - \left( { - x} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\].

Vì hàm số \[g\left( t \right) = - \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} - t\] nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] nên \[\left( * \right) \Rightarrow \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - x \Rightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\].

Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.

Do đó\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {\left( { - \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = - } \ln 3 \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 0\). Vậy \(S = a + {b^2} = - 1\). Chọn B.