Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt
17/22
Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt \(S\left( {0;0;4} \right)\) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \(A\left( { - 2;0;0} \right),\,\,B\left( {1;\sqrt 3 ;0} \right),\,\,C\left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\). Biết rằng trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là \(24\,N\) và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau như hình dưới. Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} \).
Đáp số: 56.
Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - 2;0; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {SB} = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 4} \right)\).
Khi đó ta có \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = 2\sqrt 5 \).
Do đó tồn tại hằng số \(k\) sao cho \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SB} \)
Theo đầu bài ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right| \Rightarrow \left| {k\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)} \right| = 24\)
Gọi \(K\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khi đó \(G\left( {0;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} = \left( {0;0; - 12} \right)\).
Từ đó ta có \(\left| {k\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)} \right| = 24 \Rightarrow k\left| {3\overrightarrow {SG} } \right| = 24 \Rightarrow 12k = 24 \Leftrightarrow k = 2\)
Khi đó \(\overrightarrow {{F_1}} = 2\overrightarrow {SA} = \left( { - 4;0; - 8} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}} = 2\overrightarrow {SB} = \left( {2;2\sqrt 3 ; - 8} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} = 56\).