Một chiếc máy bay thương mại Vietnam Airlines đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB . Tại vị trí D thì máy bay bay cách mặt đất
16/22
Một chiếc máy bay thương mại Vietnam Airlines đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ \(D\) đến \(E\) có hình chiếu trên mặt đất là đoạn \(CB\). Tại vị trí \(D\) thì máy bay bay cách mặt đất \(9000{\mkern 1mu} m\), tại vị trí \(E\) thì máy bay cách mặt đất \(12{\rm{ }}000{\mkern 1mu} m\). Một ra đa được đặt trên mặt đất tại vị trí \(O\) cách \(C\) khoảng \(20{\rm{ }}000{\mkern 1mu} m\), cách \(B\) khoảng \(16{\rm{ }}000{\mkern 1mu} m\) và góc ; phạm vi theo dõi của ra đa là \(20{\mkern 1mu} km\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\)( đơn vị trên mỗi trục là \(1000{\rm{ }}\left( m \right)\)) với 1\(O\) là vị trí đặt ra đa, \(B\) thuộc tia \(Oy\), \(C\) thuộc tia \(Ox\)
[NB] Tại \(D\) máy bay cách ra đa \(21{\rm{ }}000{\rm{ }}\left( {{\mkern 1mu} m} \right)\) (làm tròn đến hàng nghìn theo đơn vị mét).
[TH]. Khi máy bay bay đến điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {DI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {DE} \), máy bay cách mặt đất \(9750{\mkern 1mu} m\).
[TH] Trên hành trình bay từ \(D\) đến \(E\), máy bay sẽ đi qua điểm có tọa độ \(P(16{\rm{ }};{\rm{ }}3,2{\rm{ }};{\rm{ }}9,6)\).
[VD] Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay bay trong phạm vi theo dõi của ra đa là \(22{\rm{ }}500{\rm{ }}\left( {{\mkern 1mu} m} \right)\) (làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị mét).
a) [NB] Ta có:\[O\left( {0;0;0} \right)\], \[C\left( {20;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right)\], \[B\left( {0,{\rm{ }}16,{\rm{ }}0} \right)\], \[D\left( {20,{\rm{ }}0,{\rm{ }}9} \right)\], \[E\left( {0,{\rm{ }}16,{\rm{ }}12} \right)\]
\(OD = \sqrt {{{20}^2} + {0^2} + {9^2}} = \sqrt {400 + 81} \)
\(OD \approx 21,93\left( {km} \right)\)
Đổi ra mét và làm tròn: \(OD \approx 21{\rm{ }}930\left( m \right) = 22{\rm{ }}000\left( m \right)\). Chọn: SAI.
b) [TH].
Gọi tọa độ của \(I(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z)\)
Theo đầu bài ta có: \(\overrightarrow {DI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {DE} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 20 = - 5}\\{y - 0 = 4}\\{z - 9 = \frac{3}{4}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 15}\\{y = 4}\\{z = \frac{{39}}{4}}\end{array}} \right.\).
Vậy: Độ cao của điểm \(I\) là \(\frac{{39}}{4} = 9,75\) nên máy bay cách mặt đất \(9,75\left( {km} \right){\rm{ = }}9750{\mkern 1mu} \left( m \right)\).
Chọn: ĐÚNG.
c) [TH] Ta có: \(\overrightarrow {DP} = ( - 4;3,2;0,6)\) mà
Vậy: \(\overrightarrow {DE} = 5\overrightarrow {DP} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {DE} \) và \(\overrightarrow {DP} \) là hai vectơ cùng phương.
Vậy: \(P \in DE\). Chọn: ĐÚNG.
d) [VD]Rađa theo dõi trong bán kính: \(R = 20\left( {km} \right) = 20{\rm{ 000 }}\left( m \right)\).
Xét phương trình mặt cầu tâm \(O\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 400\) \(\left( S \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(DE:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20 - 20t}\\{y = 16t}\\{z = 9 + 3t}\end{array}} \right.\)
Tìm giao điểm của mặt cầu \(\left( S \right)\)và đường thẳng \(DE\):
\({(20 - 20t)^2} + {(16t)^2} + {(9 + 3t)^2} = 400\)
\( \Leftrightarrow 400 - 800t + 400{t^2} + 256{t^2} + 81 + 54t + 9{t^2} = 400\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = 1}\\{{t_2} = 0,12}\end{array}} \right.\).
Vậy: Đường thẳng \(DE\)cắt mặt cầu \((S)\) tại \(2\) điểm: \(M(0{\rm{ }};{\rm{ }}16{\rm{ }};{\rm{ }}12)\) và điểm
\(N(17,6{\rm{ }};{\rm{ }}1,92{\rm{ }};{\rm{ }}9,36)\)
Khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\): \(MN = \sqrt {514,976} \approx 22,693(km)\)
Hay: \(MN = 22693(m)\)
Làm tròn đến hàng trăm: \(MN = 22{\rm{ }}700(m)\). Chọn: SAI.