Một chiếc lều cắm trại được thiết kế có dạng hình chóp tứ giác đều với thể tích là 4 m ^3
87/235
Một chiếc lều cắm trại được thiết kế có dạng hình chóp tứ giác đều với thể tích là \(4{m^3}\). Bốn mặt bên của lều được may bằng vải bạt (hình minh họa). Để diện tích vải bạt cần dùng là nhỏ nhất, thì dộ dài cạnh đáy gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(2,53{\rm{m}}.\)
\(2,57{\rm{m}}.\)
\(2,94{\rm{m}}.\)
\(3,14{\rm{m}}.\)
Giải chi tiết:
\[V = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {x^2} = \frac{1}{3}\sqrt {{l^2} - \frac{{{x^2}}}{2}} \cdot {x^2}\]
\[{V^2} = 16 \Leftrightarrow \frac{1}{9}\left( {{l^2} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){x^4} = 16 \Leftrightarrow \frac{{144}}{{{x^4}}} = {l^2} - \frac{{{x^2}}}{2} \Leftrightarrow {l^2} = \frac{{144}}{{{x^4}}} + \frac{{{x^2}}}{2}\]
\[S_{{\rm{b?t}}}^2 = 4{x^2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{144}}{{{x^4}}} - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)\]
\[ = 4{x^2}\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{144}}{{{x^4}}}} \right) = {x^4} + \frac{{576}}{{{x^2}}}\]
\[ = {x^4} + \frac{{288}}{{{x^2}}} + \frac{{288}}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{{{288}^2}}} \approx 130,83\]
Dấu bằng xảy ra khi:
\[{x^4} = \frac{{288}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x \approx 2,57\]
Đáp án cần chọn là: B