Một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp có họa tiết trang trí ở giữa (phần tô đậm) được dát vàng bằng cách vẽ hình lục giác đều ABCDEF tâm O và có cạnh bằng 6 cm và parabol (C1) đi qua hai đỉnh

Đặt hệ trục như hình vẽ, ta có \(OM\)là đường cao trong tam giác đều \(OAB \Rightarrow OM = \left( {0;3\sqrt 3 } \right)\)Suy ra, tọa độ điểm\(A\left( {3;3\sqrt 3 } \right)\)và \(B\left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)\)

Phương trình parabol đi qua \(A\)và \(B\)có dạng: \(\left( {{C_1}} \right):f\left( x \right) = a{x^2} + c \Rightarrow f'\left( x \right) = 2ax\,\left( {a > 0} \right)\)

Vì \(\left( {{C_1}} \right)\)đi qua \(A\left( {3;3\sqrt 3 } \right) \Rightarrow 9a + c = 3\sqrt 3  \Rightarrow c = 3\sqrt 3  - 9a\left( * \right)\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(A\)là: \({k_A} = f'\left( 3 \right) = 6a\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(B\)là: \({k_B} = f'\left( { - 3} \right) =  - 6a\)

Theo đề bài, hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau, nên: \({k_A}.{k_B} = 6a.\left( { - 6a} \right) =  - 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}\)

Thay \(a = \frac{1}{6}\)vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow c = 3\sqrt 3  - 9.\frac{1}{6} = 3\sqrt 3  - \frac{3}{2}\)

Vậy phương trình parabol \(\left( {{C_1}} \right)\)có dạng:\(f\left( x \right) = \frac{1}{6}{x^2} + 3\sqrt 3  - \frac{3}{2}\)

Diện tích cần tìm là: $S=S_{LGÐ}-6.S_{parabol}=6.S_{\Delta OAB}-6.S_{parabol}=6.\left(S_{\Delta OAB}-S_{parabol}\right)$

Suy ra $S=6.\left[\frac{6^2\sqrt{3}}{4}-\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\left|3\sqrt{3}-\left(\frac{1}{6}{x}^2+3\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)\right|dx\right]=54\sqrt{3}-36\approx \boxed{\mathrm{57,5}}$