Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng
47/63
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng 34 chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72 cm3/phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8π cm (xem hình vẽ). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu?
10 cm
9 cm
8 cm
12 cm
Đáp án D
Gọi l là chiều cao của khối trụ cần tìm ta có l=2.43h=83h.
Cắt chiếc đồng hồ cát theo một mặt phẳng chứa trục dọc
của nó và gắn hệ trục Oxy với gốc tọa độ O là điểm giao
giữa hai Parabol, mỗi đơn vị trên trục dài 1cm.
Khi đó gọi B là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc ban đầu,
A là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc còn 4 cm và C
là điểm nằm ngang với A trên thành Parabol phía trên
như hình vẽ. Theo giả thiết 8π=2πAC⇒AC=4⇒C4;4
suy ra (P) có phương trình y=14x2.
Thể tích ban đầu của cát là 12,72.10 = 127,2cm3
Thể tích này bằng thể tích của khối tròn xoay khi
quay hình phẳng giới hạn bởi đường P:y=14x2⇔x2=4y
và các đường y = 0; y = h xoay quanh trục Oy
Vậy ta có π∫0h4ydy=127,2⇒2πh2=127,2⇒h≈4,5⇒l≈12cm.