Một chất phóng xạ X có chu kì bán rã là T, sau khi phóng xạ tạo thành hạt nhân Y bền. Ban đầu, mẫu chất có chứa \(N_0\) hạt nhân X và \(N_{0Y}\) hạt nhân Y.
27/28
Một chất phóng xạ X có chu kì bán rã là T, sau khi phóng xạ tạo thành hạt nhân Y bền. Ban đầu, mẫu chất có chứa \(N_0\) hạt nhân X và \(N_{0Y}\) hạt nhân Y. Để xác định chu kì bán rã của chất phóng xạ X, người ta theo dõi quá trình phóng xạ của chất phóng xạ X và số lượng hạt nhân Y tạo thành theo thời gian, sau đó vẽ được đồ thị như hình bên. Chu kì bán rã của chất phóng xạ X bằng bao nhiêu ngày? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm)
Tại thời điểm \(t\) (ngày), ta có:
\[
\begin{aligned}
N_Y(t)&=N_{0Y}+\Delta N(t),\\
N_X(t)&=N_0-\Delta N(t).
\end{aligned}
\]
Từ đồ thị: \(N_Y(t)=0{,}75\,N_0,\ N_X(t)=0{,}5\,N_0 \Rightarrow \Delta N(t)=0{,}5\,N_0\).
Suy ra \(N_{0Y}=0{,}75N_0-0{,}5N_0=0{,}25N_0\).
Tại thời điểm \(t=5{,}44\) ngày (hai đường cắt nhau) có \(N_X=N_Y\):
\[
N_X=N_Y=N_{0Y}+N_0-N_X
\Rightarrow 2N_X=N_{0Y}+N_0
\Rightarrow N_X=\frac{N_{0Y}+N_0}{2}=\frac{0{,}25N_0+N_0}{2}=\frac{5}{8}N_0.
\]
Mà \(N_X=N_0\,2^{-t/T}\Rightarrow 2^{-t/T}=\dfrac{5}{8}=2^{-\log_2(8/5)}\).
Do đó
\[
\frac{t}{T}=\log_2\!\left(\frac{8}{5}\right)
\Rightarrow
T=\frac{t}{\log_2(8/5)}
=\frac{5{,}44}{\log_2(1{,}6)}
\approx 8{,}02\ \text{ngày}.
\]