Một chất điểm ở vị trí đỉnh A của hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác dụng bởi ba lực

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Biểu thức tọa độ của vectơ.

Lời giải

Đặt hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) vào hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) trùng \(A,B\) thuộc trục \(Ox,D\) thuộc trục \(Oy,A'\) thuộc trục \(Oz\) và \(B\left( {1;0;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(AB = 1,AD = 1,AC' = \sqrt 3 \).

Vì \(K\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(CC'\) nên \(K\left( {1;1;k} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( {1;1;k} \right)\).

Chất điểm di chuyển trên đường thẳng \(AK\) khi chịu tác dụng bởi ba lực \(\vec a,\vec b,\vec c\) lần lượt cùng phương với các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC'} \) nên \(x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AD}  + z\overrightarrow {AC'}  = t\overrightarrow {AK} (x,y,z > 0)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + z = t}\\{y + z = t}\\{z = kt}\end{array}} \right.\)

Ba lực \(\vec a,\vec b,\vec c\) có độ lớn lần lượt là \(10N,10N,10\sqrt 3 N\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {x.\overrightarrow {AB} } \right| = 10}\\{\left| {y.\overrightarrow {AD} } \right| = 10}\\{\left| {z.\overrightarrow {AC'} } \right| = 10\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 10.}\\{z = 10}\end{array}} \right.} \right.\)

Do đó \(t = x + z = 10 + 10 = 20\) và \(k = \frac{z}{t} = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(K\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\) nên \[\overrightarrow {CK}  = \left( {0;0;\frac{1}{2}} \right)\]

Ta có \(\overrightarrow {CC'}  = \left( {0;0;1} \right)\) mà \(\overrightarrow {CC'}  = m.\overrightarrow {CK} \) nên \(m = 2\).

Vậy \(T = {m^2} + m = {2^2} + 2 = 6\).