Một chất điểm chuyển động với vận tốc v = a cos(πt) + b (mét/giây) (trong đó t là biến thời gian; a, b là các hằng số) có đồ thị như hình vẽ bên. Quãng đường mà vật đi được sau 6 giây là [

Đáp án:

Quãng đường mà vật đi được sau \(6\) giây là \(30\) mét.

Phương pháp giải:

                \(S\left( t \right) = \smallint v\left( t \right)dt\)

Giải chi tiết:

Đồ thị hàm vận tốc đi qua các điểm \(\left( {0;10} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\) nên ta có hệ

                                                     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{acos0 + b = 10a}\\{cos\pi + b = 0}\end{array}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 10}\\{ - a + b = 0}\end{array}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = b = 5.\)

Vậy \(v\left( t \right) = 5{\rm{cos}}\left( {\pi t} \right) + 5\).

Ta có \(S\left( t \right) = \smallint v\left( t \right)dt = \smallint {\rm{(}}5{\rm{cos(}}\pi t) + 5)dt = \frac{{5{\rm{sin}}\left( {\pi t} \right)}}{\pi } + 5t + C\).

Do \(S\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{5{\rm{sin}}\left( {\pi \cdot 0} \right)}}{\pi } + 5 \cdot 0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) = \frac{{5{\rm{sin}}\left( {\pi t} \right)}}{\pi } + 5t\).

Thay \(t\) bằng các giá trị có thể kéo được ta được cặp thỏa mãn là \(S\left( 6 \right) = 30\)

Quãng đường mà vật đi được sau \(6\) giây là \(S\left( 6 \right) = 30\) mét.