Một chất điểm chuyển động có phương trình

12/22

Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = - {t^3} + 3{t^2} + \left( {9 + m} \right)t + 2\), trong đó \(t > 0,\) \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét, \(m\) là tham số không âm. Tìm giá trị của tham số \(m \ge 0\) để tại thời điểm vận tốc của chất điểm đạt lớn nhất có giá trị bé nhất?

\(m = 0\).

\(m = 1\)

\(m = 3\)

\(m = 2\)

Giải thích

Dùng định nghĩa ta tính được đạo hàm của hàm số \(s\left( t \right)\) tại \({t_0}\) là \(s'\left( {{t_0}} \right) = - 3t_0^2 + 6{t_0} + 9 + m.\)

Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là

\[v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = - 3{t_0}^2 + 6{t_0} + 9 + m = - 3{\left( {{t_0} - 1} \right)^2} + 12 + m \le 12 + m.\]

Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow {t_0} = 1.\)

Vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất \(v\left( {{t_0}} \right) = 12 + m\) khi \({t_0} = 1\left( {\rm{s}} \right){\rm{.}}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( 1 \right) = 12 + m\\m \ge 0\end{array} \right.\) nên \(v\left( 1 \right) = 12\) là bé nhất khi \(m = 0\).