Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Giải chi tiết

Mảnh trên được biểu diễn bởi elip:

\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {y^2} = 4\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} \right)\)

Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi

\({V_1} = \pi \int_{ - 4}^0 4 \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} \right)dx = \frac{\pi }{4}\int_{ - 4}^0 {(16 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx.\)

Thể tích phần trong mảnh trên là:

\({V_1} = \frac{\pi }{4}\int_{ - 4}^0 {(16 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{32\pi }}{3}.\)

Mảnh dưới được biểu diễn bởi đường tròn:

\({x^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow {y^2} = 4 - {x^2}\)

Thể tích phần trong mảnh dưới là:

\({V_2} = \pi \int_0^2 {(4 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{16\pi }}{3}.\)

Vậy thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.

Thể tích phần trong của quả trứng đỏ chỗ này là:

\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{32\pi }}{3} + \frac{{16\pi }}{3} = 16\pi .\)

Đáp án cần chọn là: A