Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón.
91/95
Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \[54\sqrt 3 \pi \;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}).\] Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng là bao nhiêu?
\(46,5\sqrt 3 \pi \;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3})\)
\(18\sqrt 3 \pi \;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3})\)
\(\frac{{46}}{3}\sqrt 3 \pi \;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3})\)
\(18\pi \;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3})\)
Các đường thẳng \(AD,{\mkern 1mu} BC,{\mkern 1mu} IJ\) đồng quy tại \(E\).
Đặt bán kính khối cầu là
\[IH = R,\]
bán kính mặt đáy của thùng là
\[JD = r,\]
chiều cao thùng là
\[IJ = h.\]
Do thể tích nước tràn ra bằng thể tích nửa khối cầu:
\[\frac{2}{3}\pi {R^3} = 54\sqrt 3 \pi \Rightarrow R = 3\sqrt 3 .\]
Đường kính khối cầu bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao thùng:
\[\frac{3}{2}h = 2R = 6\sqrt 3 \Rightarrow h = 4\sqrt 3 .\]
Từ các tam giác đồng dạng:
\[\frac{{EJ}}{{EI}} = \frac{{JC}}{{IB}} = \frac{r}{{3r}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EJ = 2\sqrt 3 .\]
Áp dụng định lý Pitago:
\[I{H^2} = I{A^2} + I{E^2} \Rightarrow \frac{1}{{27}} = \frac{1}{9}{r^2} + \frac{1}{{108}} \Rightarrow r = 2.\]
Thể tích thùng nước:
\[{V_1} = \frac{1}{3}\pi I{A^2} \cdot IE - \frac{1}{3}\pi J{D^2} \cdot JE = \frac{{208\sqrt 3 \pi }}{3}.\]
Thể tích nước còn lại:
\[V = {V_1} - 54\sqrt 3 \pi = \frac{{46\sqrt 3 \pi }}{3}\;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}).\]
Đáp án cần chọn là: C.