Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Theo đề ta có phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{4}{{25}}}} = 1.\)

Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là giao điểm của dầu với elip.

Gọi \({S_1}\) là diện tích của hình elip ta có \({S_1} = \pi ab = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{\pi }{5}.\)

Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip và đường thẳng \[MN\]

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là \[0,6{\rm{ }}m\] nên ta có phương trình của đường thẳng \[MN\] là \(y = \frac{1}{5}.\)

Mặt khác, từ phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{4}{{25}}}} = 1\), ta có \(y = \frac{4}{5}\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} .\)

Do đường thẳng \(y = \frac{1}{5}\) cắt elip tại hai đỉnh \[M,\,\,N\] có hoành độ lần lượt là \( - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) và \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\) nên

\({S_2} = \int\limits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\left( {\frac{4}{5}\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} - \frac{1}{5}} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{4}{5}\int\limits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} } \,{\rm{d}}x - \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{\rm{. }}\)

Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\sqrt {\frac{1}{4} - {x^2}} } \,{\rm{d}}x\). Đặt \(x = \frac{1}{2}\sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos t\;{\rm{d}}t.\)

Đổi cận: Khi \(x = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) thì \(t = - \frac{\pi }{3}\); khi \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) thì \(t = \frac{\pi }{3}.\)

\(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{{\cos }^2}t\;{\rm{d}}t} = \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{8}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\)

Do đó \({S_2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{8}{\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} - \frac{{\sqrt 3 }}{{10}} = \frac{\pi }{{15}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{20}}.\)

Thể tích của dầu trong thùng là \(V = \left( {\frac{\pi }{5} - \frac{\pi }{{15}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{20}}} \right) \cdot 3 = 1,52\).

Vậy \(V = 1,52\;\,{{\rm{m}}^3}.\) Chọn D.