Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có phương trình chính tắc là x^2/(0,5^2) + y^2/(0,4^2) = 1, chiều dài (phần bên trong của thùng) bằng 3 m.
91/100
Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{0,{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{0,{4^2}}} = 1\), chiều dài (nằm trong của thùng) bằng \(3m\). Được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình vẽ bên). Biết chiều cao của dầu trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là \(0,6m\). Tính thể tích \(V\) của dầu có trong thùng (kết quả được làm tròn đến phần trăm).
\(V = 1,42{{\rm{m}}^3}\).
\(V = 1,31{{\rm{m}}^3}\).
\(V = 1,27{{\rm{m}}^3}\).
\(V = 1,52{{\rm{m}}^3}\).
Phương pháp giải:
Dử dụng tích phân để xác định diện tích
Giải chi tiết:
Xét một đáy của thùng đựng dầu và gán hệ trục như hình vẽ.
Phương trình đường elip đáy khi đó có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{0,{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{0,{4^2}}} = 1\).
Khi đó chiều cao mép dầu trong thùng trùng với đường thẳng \(y = 0,2\).
Xét phương trình \(0,4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{0,{5^2}}}} = 0,2 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Diện tích phần mặt chứa dầu là \(S = 0,5 \times 0,4 \times \pi - \mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \left( {0,4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{0,{5^2}}}} - 0,2} \right)dx \approx 0,506\).
Do đó thể tích dầu trong thùng là \(V = 3 \cdot S \approx 1,52{{\rm{m}}^3}\).