Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Đường tròn đường kính AB và đường (ảnh 1)

a)Vì tam giác ABC vuông tại A nên \[AB \bot AC\]từ đó có AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của (C) và (B). Do đó: \[\widehat {BAC} = {90^0}\]

\[\Delta ABC = \Delta DBC(c.c.c)\] nên \[\widehat {BDC} = \widehat {BAC} = {90^0}\]

Suy ra: \[\widehat {BDC} + \widehat {BAC} = {180^0}\].

Vậy tứ giác ABDC nội tiếp được

b)Theo tính chất của hai đường tròn cắt nhau ta có BC là đường trung trực của AD và H là trung điểm của AD ( H là giao điểm của BC với AD)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAC ta có:

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow A{H^2} = \frac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} = \frac{{9.16}}{{25}}\]

\[ \Leftrightarrow AH = \frac{{12}}{5} = 2,4\]cm. Suy ra AD = 4,8 cm.

c)\[\Delta ABE\] cân tại B nên \[\widehat {BEA} = \widehat {BAE}\];

\[\Delta ACF\] cân tại C nên \[\widehat {C{\rm{AF}}} = \widehat {CFA}\] mà A, D, E thẳng hàng nên \[\widehat {BAE} + \widehat {C{\rm{AF}}} = {180^0} - \widehat {{\rm{BAC}}} = {90^0}\], suy ra: \[\widehat {BEA} + \widehat {CF{\rm{A}}} = {90^0}\]

Hay \[\widehat {MEF} + \widehat {MFE} = {90^0}\]suy ra \[\Delta M{\rm{EF}}\] vuông tại M

Do đó: \[\widehat {BMC} = {90^0}\]

Suy ra M thuộc đường tròn đường kính BC cố định.

Một cái thang AB dài 6m tựa vào tường, chân thang cách tường 3m (Hình 1). Tính góc tạo bởi thang AB với tường AH là: