Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 8 m và chiều cao là 3 m . Cửa vào lều là hình thang EFGH trong đó AE = FB và EF = 4 m . Gọi G , H lần lượt là trung điểm c
22/22
Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(8{\rm{ m}}\) và chiều cao là \(3{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Cửa vào lều là hình thang \(EFGH\) trong đó \(AE = FB\) và \(EF = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Gọi \(G,H\) lần lượt là trung điểm của \(SE\) và \(SF.\) Một nguồn sáng đặt cách đỉnh \(S\) một mét ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một vùng được chiếu sáng \(EFG'H'.\) Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu \({{\rm{m}}^2}\) (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF;N = SM \cap GH;K = OM \cap G'H'.\)
Ta có \(GH\) là đường trung bình của tam giác \(SEF\) nên
Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SO,OM.\) Theo đề bài ta có
\(SI = 1{\rm{m,}}IO = 2{\rm{m,}}SP = \frac{1}{2}SO = \frac{3}{2}{\rm{m}} \Rightarrow IP = \frac{1}{2};NP = OQ = 2{\rm{m}}\) (vì \(M\) là trung điểm của \(EF\) nên \(N\) là trung điểm của \(GH,SM)\)
Xét tam giác \(IOK\) có
Mà \(OM = 4\) nên \(M\) là trung điểm của \(OK\) và nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(OG'H' \Rightarrow G'H' = 2EF = 2(AB - AE - FB) = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Do \(M\) là trung điểm của \(EF\), cũng là trung điểm của \(AB\) nên \(OM \bot EF.\) Suy ra \(MK\) là đường cao của hình thang \(EFG'H'\) và \(MK = OM = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{EF + G'H'}}{2}.MK = \frac{{4 + 8}}{2}.4 = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)
Cách khác
Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF\) cũng là trung điểm của \(AB({\rm{v\`i }}AE = FB);J\) là trung điểm của \(BC\) (hình vẽ).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(OM \equiv Ox,ON \equiv Oy,OS \equiv Oz.\) Khi đó
\(O(0;0;0),M(4;0;0),J(0;4;0),S(0;0;3);A(4; - 4;0);B(4;4;0);E(4; - 2;0),F(4;2;0),I(0;0;2).\)
\(H\) là trung điểm \(SE \Rightarrow H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\); \(G\)là trung điểm của \(SF \Rightarrow G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right).\)
\({\rm{Mp}}(ABCD) \equiv Oxy:z = 0.\)
\(\overrightarrow {IH} = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4; - 2; - 1) \Rightarrow IH:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow H' = IH \cap Oxy \Rightarrow H'(8; - 4;0)\)
\(\overrightarrow {IG} = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}(4;2; - 1) \Rightarrow IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t'\\y = 2t'\\z = 2 - t'\end{array} \right. \Rightarrow G = IG \cap Oxy \Rightarrow G(8;4;0)\)
\(\overrightarrow {EH'} = (4; - 2;0),\overrightarrow {EG'} = (4;6;0),\overrightarrow {EF} = (0;4;0)\)
Vậy SEFG'H'=SΔEFG'+SΔEG'H'=12EF→×EG'→+EG'→×EH'→=12(16+32)=24 m2.