Một cái guồng nước có vành kim loại ngoài cùng là một đường tròn tâm O, bán kính là 10m. Xét chất điểm M thuộc đường tròn đó và góc α = (OA, OM). Giả sử mực nước lúc đang xét là tiếp xúc với
18/22
Một cái guồng nước có vành kim loại ngoài cùng là một đường tròn tâm \(O\), bán kính là \(10\)m. Xét chất điểm \(M\) thuộc đường tròn đó và góc \(\alpha = \left( {OA;\,OM} \right)\). Giả sử mực nước lúc đang xét là tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O;\,10} \right)\) tại điểm thấp nhất và guồng nước quay theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ). Biết rằng guồng nước quay chậm đều, quay hết một vòng sau \(24\) giây (tại thời điểm \(t = 0\) giây thì điểm \(M \equiv A\) nằm trên phần dương của trục hoành). Gọi \({t_1},\,{t_2},\,{t_3},\,{t_4}\) là \(4\)thời điểm đầu tiên trong \(40\) giây đầu mà khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt nước bằng \(15\)m. Hãy tính tổng \({t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4}\)
Với hệ trục toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\) như hình vẽ, điểm thấp nhất mà mực nước tiếp xúc với đường tròn tại điểm có toạ độ \(\left( {0; - 10} \right)\)
Xét tam giác vuông \(OKA\) vuông tại \(K\) có \[\sin \alpha = \frac{{AK}}{{OA}} \Rightarrow AK = OA.\sin \alpha = 10.\sin \alpha \]
Mặt khác, vì guồng nước dao động điều hoà nên \(AK = 10.\sin \left( {\omega t + \phi } \right)\)
Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{24}} = \frac{\pi }{{12}}\,\left( {rad/s} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\phi = 0\,\left( {t = 0,A \equiv M} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow AK = 10.\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right).\)
Khi đó khoảng cách từ từ điểm \(M\) đến mặt nước bằng \(15\)m thì:
\[\begin{array}{l}AK - \left( { - 10} \right) = 10.\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) + 10 = 15 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\,t} \right) = \sin \left( {\frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{\pi }{{12}}\,t = \left( {\pi - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{\pi }{{12}}\,t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2 + 24k\,\,}\\{t = 10 + 24k}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\end{array}\]
Khi đó, 4 thời điểm đầu tiên tương ứng là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 2\,\,}\\{{t_2} = 10}\\{{t_3} = 26}\\{{t_4} = 34}\end{array}} \right.\,\,\left( s \right)\) với \({t_1},{t_2}:k = 0;{t_3},{t_4}:k = 1 \Rightarrow {t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4} = 72\)