Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều, đáy chậu là tam giác đều cạnh bằng 2 dm, miệng chậu là tam giác đều cạnh bằng 5 dm và chiều cao chậu nước bằng 3 dm. Người ta bơm nước vào ch
20/22
Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều, đáy chậu là tam giác đều cạnh bằng \(2\,{\rm{dm}}\), miệng chậu là tam giác đều cạnh bằng \(5\,{\rm{dm}}\) và chiều cao chậu nước bằng \(3\,{\rm{dm}}\). Người ta bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) lít/phút. Tại thời điểm 14 phút sau khi bơm tốc độ dâng lên của nước trong chậu là \(\frac{1}{a}\) dm/phút, giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(12\).
Theo bài ra ta có thể tích của nước trong chậu theo thời gian \(t\) là: \(V\left( t \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t\,\;\left( l \right)\).
Khi bơm nước vào chậu thì độ cao của nước tăng dần, và mặt nước luôn là tam giác đều.
Ta tính thể tích của nước trong chậu sau khi bơm được \(t\) phút, với độ cao \(0 \le x \le h\), mặt nước là tam giác đều cạnh \(a\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,a = 2}\\{x = 3,\,a = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow a = x + 2\).
Diện tích của mặt nước \(S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {x + 2} \right)^2}\).
Thể tích nước có trong chậu là: \(V\left( h \right) = \int\limits_0^h {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \,{\rm{d}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right]\).
Vậy \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left[ {{{\left( {h + 2} \right)}^3} - 8} \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{3}t \Leftrightarrow {\left( {h + 2} \right)^3} = 8 + 4t \Rightarrow h = \sqrt[3]{{8 + 4t}} - 2\).
Ta có: \(h'\left( t \right) = \frac{4}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {8 + 4t} \right)}^{ - 2}}}}\).
\( \Rightarrow h'\left( {14} \right) = \frac{1}{{12}} \Rightarrow a = 12\).