Một cái bình cổ có hình dạng như Hình a. Giả sử mô hình toán mô phỏng việc tạo thành cái bình cổ đó bằng cách xoay phần diện tích (gạch sọc) được giới hạn bởi đường cong

Xét đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right) = - f\left( x \right)\) có đồ thị là đường nét đứt đoạn như hình vẽ trên.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) và \(h\left( x \right)\) là nghiệm của phương trình \[ - {x^2} + 8x - 12 = - x + 6\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 18 = 0 \Leftrightarrow x = 3\]hoặc \[x = 6\].

Thể tích của bình cổ là

\(V = \pi \int\limits_3^6 {\left[ {{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x + \pi \int\limits_1^3 {{{\left( { - x + 6} \right)}^2}{\rm{d}}x - \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} - 8x + 12} \right)}^2}{\rm{d}}x} } } \)\( = \frac{{153}}{5}\pi + \frac{{98}}{3}\pi - \frac{{113}}{{15}}\pi = \frac{{836}}{{15}}\pi \).