Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp vectơ chỉ phương là vecto u  (2; 2; 1) với tốc độ là 4,5 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) được

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Vì đường cáp đi qua điểm A(10; 3; 0) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 2;\,\,1} \right)\)nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).

b) Đúng. Sau t giây kể từ lúc xuất phát (t > 0), cabin đến vị trí điểm M. Khi đó cabin đi được đoạn đường có độ dài bằng đoạn AM = 4,5t.

Đặt \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1} = u \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2u\\y = 3 - 2u\\z = u\end{array} \right.\)

Suy ra tọa độ điểm M là M(10 + 2u; 3 – 2u; u)  (u > 0).

Khi đó:

AM = 4,5t <=> (2u)2 + (-2u)2 + u2 = (4,5t)2 <=> 9u2 = \(\frac{{81}}{4}\)t2

Vì u > 0 => u = \(\frac{3}{2}t\).

Do đó, \(M\left( {10 + 3t;\,\,3 - 3t;\,\,\frac{3}{2}t} \right)\).

c) Đúng. Ta có: B(10  + 2u; 3 – 2u; u)  (u > 0).

B có hoành độ xB = 550 => 10 + 2u = 550 Þ u = 270.

Do đó, B(550; -537; 270) => AB = \(\sqrt {{{\left( {550 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{270}^2}}  = 810\) (m).

d) Sai. Đường cáp AB có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 2;\,\,1} \right)\), mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\). Suy ra góc giữa đường cáp AB và mặt phẳng (Oxy) là a với sin a = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| k \right|}} = \frac{1}{3}\) => a = 19°.