Một bức tường được tọa độ hóa trong không gian O x y z với đơn vị là mét bởi mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 và điểm M ( 1 ; − 3 ; 4 ) là tọa độ của một quả táo.
13/22
Một bức tường được tọa độ hóa trong không gian \(Oxyz\) với đơn vị là mét bởi mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và điểm \(M\left( {1; - 3;4} \right)\) là tọa độ của một quả táo.
Quả táo cách bức tường \(4m\).
Một người bắn một mũi tên với đầu mũi tên là \(B\left( {2; - 1;4} \right)\) theo hướng \(\vec a = \left( {2;4;0} \right)\) thì mũi tên bay xuyên qua trái táo.
Mũi tên cắm vào bức tường tại điểm \(C\left( {5;5;4} \right)\).
Mặt đất được tọa độ hóa là mặt phẳng \(\left( Q \right):y + z - 2 = 0\). Vào 12h trưa (khi bóng của vật trên mặt đất là hình chiếu thẳng đứng từ vật xuống mặt đất) sau khi mũi tên cắm vào bức tường thì bóng của mũi tên trên mặt đất dài 50cm (làm tròn đến hàng đơn vị), biết mũi tên dài \(\frac{{\sqrt {39} }}{{10}}{\rm{\;cm}}\).
a) Khoảng cách từ quả táo đến bức tường: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.4 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{3} = 4\).
b) Phương trình đường thẳng qua \(B\) và nhận véctơ \(\overrightarrow a \) làm véc tơ chỉ phương là
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right.\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng trên ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 2 + 2t\\ - 3 = - 1 + 4t\\4 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\), suy ra điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
Hơn nữa, thay tọa độ điểm \(B\) và \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}2 + 2 + 8 - 3 > 0\\1 + 6 + 8 - 3 > 0\end{array} \right.\)
Suy ra hai điểm \(B\) và \(M\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
\(\overrightarrow {BM} = \left( { - 1; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {BM} \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \).
Vậy mũi tên không xuyên qua quả táo.
c) Xét hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2{\rm{z}} - 3 = 0\\x = 2 + 2t\\y = - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( { - 1 + 4t} \right) + 2.4 - 3 = 0\\x = 2 + 2t\\y = - 1 + 4t\\z = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{2}\\x = 5\\y = 5\\z = 4\end{array} \right.\)
Giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(C\left( {5;5;4} \right)\).
Vậy mũi tên cắm vào bức tường tại điểm \(C\left( {5;5;4} \right)\).
d) Góc giữa mũi tên và mặt đất bằng góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( Q \right)\).
\(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{4}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}\).
\({\rm{cos}}\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }}\)
Chiều dài bóng của mũi tên \(l = \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}.\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {65} }}{{50}}\).