Một bức tường đang xây dở có dạng hình thang vuông MNPQ, vuông góc ở M và Q, MN = 2 m, PQ = 5 m, MQ = 4 m. Tính độ dài cạnh NP.

19/20

(2,0 điểm)

a) Một bức tường đang xây dở có dạng hình thang vuông $MNPQ$, vuông góc ở $M$ và $Q,$ $MN = 2$ m, $PQ = 5$ m, $MQ = 4$ m. Tính độ dài cạnh $NP$.

$Vậy $IJ \bot EF$. (ảnh 1)$

b) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $E,F$ là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ $B$ và $C$ xuống $AC$ và $AB$. Biết $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$; $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$ và $J$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Chứng minh $BCEF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn và $IJ$ vuông góc với $EF$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Kẻ $NH \bot PQ$ tại $H$ $\left( {H \in PQ} \right)$.

$Vậy $IJ \bot EF$. (ảnh 2)$

Tứ giác $MQHN$ có $\widehat M = \widehat Q = \widehat H = 90^\circ $ nên là hình chữ nhật.

Suy ra $NH = MQ = 4$ m và $QH = MN = 2$ m.

Ta có $HP = PQ - QH = 5 - 2 = 3$ m.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $NHP$ vuông tại $H$:

$NP = \sqrt {N{H^2} + H{P^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5$ (m).

$Vậy $IJ \bot EF$. (ảnh 3)$

Ta có $\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ $ (do $CF \bot AB,BE \bot AC$).

Tam giác $BFC$ vuông tại $F$ nên $F$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ (1)

Tam giác $BEC$ vuông tại $E$ nên $E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $B,F,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$

Do đó tứ giác BCEF nội tiếp. Tâm của đường tròn này là trung điểm $J$ của $BC$, suy ra $JE = JF$ (cùng là bán kính).

Xét tam giác $AFH$ vuông tại $F$ có $I$ là trung điểm cạnh huyền $AH$ nên $IF = \frac{1}{2}AH$.

Xét tam giác $AEH$ vuông tại $E$ có $I$ là trung điểm cạnh huyền $AH$ nên $IE = \frac{1}{2}AH$.

Suy ra $IE = IF$.

Vì $JE = JF$ và $IE = IF$ nên $IJ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $EF$.

Vậy $IJ \bot EF$.