Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy S = 100 m^2 đang chứa 1000 m^3 hóa chất lỏng. Do sự cố, hóa chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy.

a) Ta có chiều cao bồn chứa hình trụ là \(h = \frac{V}{S} = \frac{{1000}}{{100}} = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hóa chất trong bồn là

\({v_g}\left( t \right) = {v_r}\left( t \right) + {v_b}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)}  + \frac{{200}}{{t + 1}}\)

Ta có \({v_g}\left( 0 \right) = {v_r}\left( 0 \right) + {v_b}\left( 0 \right) = 10\sqrt {h\left( 0 \right)}  + \frac{{200}}{1}\)

Mà \(h\left( 0 \right) = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\) nên ta có \({v_g} = 10\sqrt {10}  + 200 \approx 231,6\,\)(\({{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)/giờ)

Chọn Đúng.

b) Ta có \(V'\left( t \right) =  - {v_g}\)

Mà \(V\left( t \right) = S.h\left( t \right) = 100h\left( t \right)\) suy ra \(V'\left( t \right) = 100h'\left( t \right)\)

Nên ta có \(100h'\left( t \right) =  - 10\sqrt {h\left( t \right)}  - \frac{{200}}{{t + 1}}\)\( \Leftrightarrow h' =  - 0,1\sqrt h  - \frac{2}{{t + 1}}\) (Do bốc hơi nên chiều cao sẽ giảm nên \(h'\left( t \right) < 0\))

Chọn Đúng

c) Xét hàm số \({v_g}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)}  + \frac{{200}}{{t + 1}} = f\left( t \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{10.h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} - \frac{{200}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} < 0\)( do \(h'\left( t \right) < 0\))

Ta có khi \(t\) tăng thì \(h\left( t \right)\) giảm nên \(10\sqrt {h\left( t \right)} \) giảm

Khi \(t\) tăng thì \(\frac{{200}}{{t + 1}}\) giảm

Vậy \({v_g}\left( t \right)\) giảm

Chọn Sai.

d) Cho \({v_b} = 0\) thì ta có \(h'\left( t \right) =  - \frac{1}{{10}}\sqrt {h\left( t \right)} \)\( \Leftrightarrow \frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} =  - \frac{1}{{20}}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

\(\int {\frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }}dt = \int { - \frac{1}{{20}}dt} } \)\( \Leftrightarrow \sqrt {h\left( t \right)}  =  - \frac{1}{{20}}t + C\)

Với \(t = 0\) thì \(h\left( 0 \right) = 10\) ta có \(C = \sqrt {10} \) suy ra \(\sqrt {h\left( t \right)}  =  - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10} \)

Khi \(h = 0\) thì ta có \( - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10}  = 0 \Leftrightarrow t = 20\sqrt {10} \) (giờ)

Chọn Sai