Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất 0,95

a) Gọi A là biến cố: "Thư được chọn là thư rác";

B là biến cố: "Thư được chọn là bị chặn".

Ta có \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 3\%  = 0,03;P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,97\); \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0,95\); \(P(B\mid \bar A) = 0,01\).

Ta cần phải tính \({\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

\(P(A\mid B) = \frac{{P(A) \cdot P(B\mid A)}}{{P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}} = \frac{{0,03 \cdot 0,95}}{{0,03 \cdot 0,95 + 0,97 \cdot 0,01}} \approx 0,746\)

Vậy khi chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn thì xác suất để đó là thư rác khoảng 0,746 .

b) Ta phải tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).

Ta có \(P(B\mid \bar A) = 0,01 \Rightarrow P(\bar B\mid \bar A) = 0,99\);

\(P(B\mid A) = 0,95 \Rightarrow P(\bar B\mid A) = 0,05.{\rm{ }}\)

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

\(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}} = \frac{{0,97 \cdot 0,99}}{{0,97 \cdot 0,99 + 0,03 \cdot 0,05}} \approx 0,998\)

Vậy khi ngẫu nhiên một thư không bị chặn thì xác suất để đó là thư đúng khoảng 0,998 .

c) Từ câu a), ta thấy xác suất một thư là thư rác nếu biết rằng thư đó bị chặn là 0,746 . Nghĩa là trong số các thư bị chặn có khoảng \(74,6\% \) thư rác.

Vậy trong số các thư bị chặn có \(100\%  - 74,6\%  = 25,4\% \) là thư đúng.

Từ câu b), ta thấy xác suất để đó là thư đúng nếu biết rằng thư đó không bị chặn là 0,998 . Nghĩa là trong số các thư không bị chặn có khoảng \(99,8\% \) thư đúng.

Vậy trong số các thư không bị chặn có \(100\%  - 99,8\%  = 0,2\% \) là thư rác.