Một bình cầu có thể tích V = 9 lít chứa 2 mol khí lí tưởng như hình. Van bảo hiểm của bình là một xi lanh (thể tích không đáng kể so với thể tích bình cầu) có pít tông diện tích S = 40 cm^2 đ
23/28
Một bình cầu thể tích $V=9\,\text{lít}=9\cdot10^{-3}\,\text{m}^3$ chứa $n=2$ mol khí lí tưởng. Van bảo hiểm là một xi lanh có pít tông diện tích $S=40\,\text{cm}^2=4{,}0\cdot10^{-3}\,\text{m}^2$, giữ bằng lò xo độ cứng $k=100\,\text{N/m}$.
Khi $t_1=27^\circ\mathrm{C}$ ($T_1=300\,\text{K}$) pít tông ở cách lỗ thoát một đoạn $\ell=8\,\text{cm}=0{,}08\,\text{m}$. Lò xo luôn bị nén. Hỏi nhiệt độ $t_2$ khi khí bắt đầu thoát ra?
Ở nhiệt độ t_1, lực F_1 do khí trong bình tác dụng lên pít tông bằng tổng lực đàn hồi F_{đh1} của lò xo và áp lực khí quyển F_{kq}:
\[
F_1 = F_{đh1} + F_{kq} \tag{1}
\]
Ở nhiệt độ t_2, lực F_2 do khí tác dụng lên pít tông bằng tổng lực đàn hồi F_{đh2} của lò xo và áp lực khí quyển F_{kq}:
\[
F_2 = F_{đh2} + F_{kq} \tag{2}
\]
Từ (1) và (2):
\[
F_2 - F_1 = F_{đh2} - F_{đh1} = k\,\ell \quad (*)
\]
Áp dụng phương trình Clapeyron cho trạng thái đầu:
\[
p_1 V = nRT_1 \;\Rightarrow\; p_1 = \frac{nRT_1}{V}
\]
Suy ra
\[
F_1 = p_1 S = \frac{nRT_1}{V}\,S \tag{3}
\]
Cho trạng thái sau:
\[
p_2 V = nRT_2 \;\Rightarrow\; p_2 = \frac{nRT_2}{V}
\]
Suy ra
\[
F_2 = p_2 S = \frac{nRT_2}{V}\,S \tag{4}
\]
Thế (3) và (4) vào (*):
\[
\frac{nRT_2}{V}\,S - \frac{nRT_1}{V}\,S = k\,\ell
\]
\[
T_2 = T_1 + \frac{k\,\ell\,V}{nRS}
\]
Vì n = 2 mol nên
\[
T_2 = T_1 + \frac{k\,\ell\,V}{2RS}
\]
Suy ra theo độ C (độ tăng nhiệt giống nhau trên thang K và ^\circ C):
\[
t_2 = t_1 + \frac{k\,\ell\,V}{2RS}
\]
Thay số: \(k=100\,\mathrm{N/m},\ \ell=8\ \mathrm{cm}=8\times10^{-2}\ \mathrm{m},\ V=9\,\mathrm{l}=9\times10^{-3}\ \mathrm{m^3},\ S=40\,\mathrm{cm^2}=40\times10^{-4}\ \mathrm{m^2},\ R=8{,}31\,\mathrm{J/(mol\,K)}\)
\[
t_2 = 27 + \frac{100\cdot 8\times10^{-2}\cdot 9\times10^{-3}}{2\cdot 8{,}31\cdot 40\times10^{-4}}
\approx 29^\circ\mathrm{C}.
\]