Một bệnh viện đang triển khai hệ thống xét nghiệm để phát hiện bệnh truyền nhiễm. Tuy nhiên, do hệ thống chưa hoàn hảo, nó có thể cho kết quả dương tính giả hoặc âm tính giả.

28/40

Một bệnh viện đang triển khai hệ thống xét nghiệm để phát hiện bệnh truyền nhiễm. Tuy nhiên, do hệ thống chưa hoàn hảo, nó có thể cho kết quả dương tính giả hoặc âm tính giả. Hệ thống hoạt động với các thông số sau:

+) Tỉ lệ bệnh nhân thực sự mắc bệnh trong tổng số người xét nghiệm là 5%.

+) Xác suất hệ thống phát hiện đúng và cho kết quả dương tính với bệnh nhân mắc bệnh là 94%.

+) Xác suất hệ thống cho kết quả dương tính giả đối với bệnh nhân không mắc bệnh là 3%.

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân đã được xét nghiệm. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Biết rằng bệnh nhân đó mắc bệnh, xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính là 0,94.

2. Xác suất để một bệnh nhân bất kì có kết quả dương tính là \(\frac{{151}}{{2000}}\).

3. Biết rằng một bệnh nhân có kết quả dương tính, xác suất để bệnh nhân đó thực sự mắc bệnh bằng \(\frac{{90}}{{151}}\).

4. Biết rằng một bệnh nhân có kết quả âm tính, xác suất để bệnh nhân đó thực sự không mắc bệnh bằng \(\frac{{1813}}{{1849}}\).

Giải thích

Gọi \(A\) là biến cố “Bệnh nhân đó mắc bệnh”; \(B\)là biến cố “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,05;P\left( {\overline A } \right) = 0,95;\)\(P\left( {B|A} \right) = 0,94;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,03\).

1. Đúng. \(P\left( {B|A} \right) = 0,94\).

2. Đúng. Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,05 \cdot 0,94 + 0,95 \cdot 0,03 = \frac{{151}}{{2000}}\).

3. Sai. Có \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,05 \cdot 0,94}}{{\frac{{151}}{{2000}}}} = \frac{{94}}{{151}}\].

4. Sai. Cần tính \(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,95 \cdot 0,97}}{{1 - \frac{{151}}{{2000}}}} = \frac{{1843}}{{1849}}\). Chọn ý 1; 2.