Một bể nước hình hộp chữ nhật A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ có chiều dài các cạnh A B = 4 m , A D = 3 m , A A ′ = 2 √ 3 m được đặt vào hệ trục toạ độ O x y z với đơn vị là ( m ) n
19/22
Một bể nước hình hộp chữ nhật \(ABCD.\,A'B'C'D'\) có chiều dài các cạnh \(AB = 4m,\,AD = 3m,\,AA' = 2\sqrt 3 m\) được đặt vào hệ trục toạ độ \(O\,xyz\) với đơn vị là \(\left( m \right)\) như hình dưới. Trong bể đang chứa nước \(12\sqrt 3 \left( {{m^3}} \right)\) nước và mặt nước chạm bốn cạnh \(A\,A',\,BB',\,CC',\,DD'\) lần lượt tại \(M,\,F,E,N\). Một máy bơm \(O\,xy\), coi như điểm \(I \in ME\) được đặt trên mặt nước với vị trí máy bơm thoả mãn \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{2}{5}\).
Người ta nghiêng bể nước trên trục \(Oy\) như hình vẽ dưới, khi đáy bể hợp với mặt phẳng \(\left( {O\,xy} \right)\) một góc \(\alpha \) sao cho mặt nước lúc này chứa cạnh \(A'D'\). Máy bơm lúc này vẫn nằm trên đoạn \(ME\) ở vị trí thoả mãn tỉ số \(\frac{{MI}}{{ME}}\) như cũ.
Lúc đó toạ độ của máy bơm là \(I\left( {{x_o};\,{y_o};{z_o}} \right)\). Tính \(\frac{{{x_o}}}{{\sqrt 7 }} + 5{y_o} + \frac{{5{z_o}}}{{\sqrt {21} }}\)
Thể tích của bể nước là \(V = 4.3.2\sqrt 3 = 24\sqrt 3 \).
Vì thể tích nước bằng \(1/2\) thể tích thể nên độ cao của mặt nước so với mặt phẳng đáy là \(z = \sqrt 3 \)
Khi nghiêng bể quanh trục \(Oy\) một góc \(\alpha \). Mặt nước chứa cạnh \(A'D'\)và thể tích nước bằng \(\frac{1}{2}\) thể tích hình hộp chữa nhật nên mặt nước là mặt phẳng đối xứng qua tâm của hình hộp chữ nhật. Vì vậy mặt phẳng phải đi qua cạnh \(BC\).
Góc nghiêng tạo bởi mặt phẳng đáy với mặt phẳng \(\left( {O\,xy} \right)\) bằng góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MNEF} \right)\) và mặt phẳng đáy và bằng góc \(\left( {ADD'A'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {zoy} \right)\).
Xét tam giác \(A'AB\) ta có: \(\sin \alpha = \sqrt {\frac{3}{7}} \); \(cos\alpha = \sqrt {\frac{4}{7}} \).
Điểm \(M\) nằm trên \(A\,A'\) nhưng vì mặt nước chạm \(A'\) nên \(M\) trùng \(A' = \left( {0;\,0;\,2\sqrt 3 } \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = A\,A'.\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{6}{{\sqrt 7 }}\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} = A\,A'.\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 3 .\sqrt 4 }}{7} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = {x_B} = 4.\cos \alpha = \frac{8}{{\sqrt 7 }}\\{y_C} = 3\\{z_C} = {z_B} = 4.\sin \alpha = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\)
Vì điểm \(I\) mới sau khi nghiêng vẫn thuộc \(ME\) và \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{A'I}}{{A'C}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \overrightarrow {2IC} + 3\overrightarrow {IA'} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {\frac{8}{{\sqrt 7 }} - {x_o}} \right) + 3\left( {\frac{6}{{\sqrt 7 }} - {x_o}} \right) = 0\\2\left( {3 - {y_o}} \right) + 3\left( { - {y_o}} \right) = 0\\2\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} - {z_o}} \right) + 3\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} - {z_o}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_o} = \frac{{34}}{{5\sqrt 7 }}\\{y_o} = \frac{6}{5}\\{z_o} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\)
Vậy \(\frac{{{x_o}}}{{\sqrt 7 }} + 5{y_o} + \frac{{5{z_o}}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{34}}{{5.7}} + 5.\frac{6}{5} + \frac{5}{{\sqrt {21} }}.\frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{344}}{{35}}\)