Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước

22/22

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi \[h\left( t \right)\] là thể tích nước bơm được sau \[t\] phút. Biết \[h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\] và ban đầu bể không có nước. Sau \(5\) phút thì thể tích nước trong bể là \[150\,d{m^3},\]sau \(10\) phút thì thể tích nước trong bể là \[1100\,d{m^3}\]. Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được \(20\) phút là bao nhiêu \[d{m^3}?\]

Giải thích

Ta có: \[h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right){\rm{d}}t} = a{t^3} + b\frac{{{t^2}}}{2} + C.\]

Do ban đầu bể không có nước nên \[h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + b\frac{{{t^2}}}{2}.\]

Lúc \(5\) phút: \[h\left( 5 \right) = a{.5^3} + b.\frac{{{5^2}}}{2} = 150\,\,\left( 1 \right).\]

Lúc \(10\) phút: \[h\left( {10} \right) = a{.10^3} + b.\frac{{{{10}^2}}}{2} = 1100\,\,\left( 2 \right).\]

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)suy ra \[a = 1,\,b = 2 \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2} \Rightarrow h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400\,d{m^3}.\]