Một bác nông dân có một trang trại, bác muốn ngăn một khu đất hình chữ nhật để trồng rau, diện tích khu đất là 400 m^2. Bên trong khu đất, bác sẽ làm lối đi bằng gạch rộng đều 1 m như hình bê
9/9
(0,5 điểm)
Một bác nông dân có một trang trại, bác muốn ngăn một khu đất hình chữ nhật để trồng rau, diện tích khu đất là \(400\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\) Bên trong khu đất, bác sẽ làm lối đi bằng gạch rộng đều \(1\,\,{\rm{m}}\) như hình bên, phần diện tích còn lại dùng để trồng rau. Hỏi bác nên chọn chiều dài và chiều rộng của khu đất là bao nhiêu để diện tích phần đất trồng rau là lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.
Gọi \(x\,\,{\rm{(m)}}\) là chiều dài khu đất \(\left( {x > 0} \right).\)
Chiều rộng khu đất là \(\frac{{400}}{x}\,\,{\rm{(m)}}\).
Diện tích trồng rau là : \(S = \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{400}}{x} - 2} \right)\,\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Ta xét: \(S = \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{400}}{x} - 2} \right) = 400 - 2x - \frac{{800}}{x} + 4\)
\( = 404 - 2\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right) \le 404 - 2.2\sqrt {x.\frac{{400}}{x}} = 404 - 80 = 324\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{{400}}{x}\) suy ra \(x = 20\) (TMĐK).
Với \(x = 20\) thì chiều dài khu đất là \(20\,\,{\rm{m}}\) và chiều rộng khu đất là \(400:20 = 20\,\,{\rm{(m)}}.\)
Vậy bác nên chọn chiều dài và chiều rộng của khu đất đều là \(20\,\,{\rm{m}}\) để diện tích phần đất trồng rau là lớn nhất. Khi đó, diện tích trồng rau lớn nhất là \[324\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]