Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc theo bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ dưới đây biết rằng bờ sông là đường thẳng CD không ph

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,B\) lên \(CD\).

Đặt \(x = MD\), \(\left( {0 < x < a} \right)\) suy ra \(AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \).

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S\left( x \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AM}}{2} = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a + x} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} \)trên khoảng \(\left( {0 < x < a} \right)\).

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - a \notin \left( {0 < x < a} \right)\\x = \frac{a}{2} \in \left( {0 < x < a} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,a} \right)\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;\,a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{a}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là \(\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)\({{\rm{m}}^2}\).