Mội người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện trên một bờ sông thẳng rộng 3 km
21/22
Mội người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \[A\] tới điểm \[B\] về phía hạ lưu bờ đối diện trên một bờ sông thẳng rộng \[3\] km (như hình vẽ). Anh chèo thuyền đến một điểm \[D\] giữa \[C\] và \[B\] và sau đó chạy đến \[B\]. Biết anh ấy có thể chèo thuyền \[6\]km/h, chạy \[8\]km/h và quãng đường \[BC = 8\]km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến \[B\] là \[a + \frac{b}{c}\sqrt d \] trong đó \[a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\], \[\frac{b}{c}\] là phân số tối giản và \[d\] là số nguyên tố. Giá trị của \[a + b + c + d\] bằng bao nhiêu? 
Đáp án: 17
Gọi độ dài đoạn đường \[CD\] là \[x\]\[(km,0 < x < 8)\].
Độ dài đoạn \[AD\] là: \[\sqrt {{x^2} + 9} \] (km)
Độ dài đoạn \[DB\] là: \[8 - x\] (km)
Thời gian để người đó chèo thuyền từ \[A\] tới \[D\] rồi chạy bộ từ \[D\] tới \[B\] là: \[T(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\] (*) (giờ)
Để người đó di chuyển được từ \[A\] tới \[B\] trong khoảng thời gian ngắn nhất thì \[T(x)\] đạt min khi \[x \in (0;8)\].
Ta có: \[T'(x) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\]
Cho \[T'(x) = 0\]\[ \Rightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{1}{8}\]\[ \Rightarrow 8x = 6\sqrt {{x^2} + 9} \]\[ \Rightarrow 64{x^2} = 36{x^2} + 324\]
\[ \Rightarrow {x^2} = \frac{{81}}{7} \Rightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\] (Thỏa mãn)
Ta có \[x \in \left( {0;\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) \Rightarrow T'(x) < 0;\,\,x \in \left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }};8} \right) \Rightarrow T'(x) > 0\] nên
\[\min T = T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{\sqrt {\frac{{81}}{7} + 9} }}{6} + \frac{{8 - \frac{9}{{\sqrt 7 }}}}{8}\]\[ \Rightarrow {T_{\min }} = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} = 1 + \frac{1}{8}\sqrt 7 \].
Suy ra \[a = 1,b = 1,c = 8,d = 7\].
Vậy \[a + b + c + d = 17\].