Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ t được xác định bởi công thức: P(t) = −t^3 + 27t^2 + 262144 (tấn), với 1 ≤ t ≤ 60, t t

a) Đúng. Thay \(t = 12\) vào công thức hàm số:

\(P\left( {12} \right) = - {12^3} + 27 \cdot {12^2} + 262144 = - 1728 + 3888 + 262144 = 264304\) (tấn).

b) Đúng. Xét hàm số \(P\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;60} \right]\), ta tìm đạo hàm: \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 54t\).

Cho \(P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t\left( {t - 18} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 18\) (nhận) hoặc \(t = 0\) (loại).

Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {1;60} \right]\), ta thấy hàm số đồng biến từ \(t = 1\) đến \(t = 18\) và nghịch biến từ \(t = 18\) đến \(t = 60\). Do đó, lượng gạo xuất khẩu đạt cực đại và lớn nhất vào ngày thứ 18.

c) Sai. Ta tính giá trị tại hai đầu mút của đoạn \(\left[ {1;60} \right]\) để so sánh:

\(P\left( 1 \right) = - {1^3} + 27 \cdot {1^2} + 262144 = 262170\);

\(P\left( {60} \right) = - {60^3} + 27 \cdot {60^2} + 262144 = - 216000 + 97200 + 262144 = 143344\).

Do \(P\left( {60} \right) < P\left( 1 \right)\) nên lượng gạo xuất khẩu đạt thấp nhất vào ngày thứ 60, không phải ngày thứ 1.

d) Đúng. Với mọi \(t \in \left( {18;60} \right)\), đạo hàm \(P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 54t = - 3t\left( {t - 18} \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến, tức là sản lượng xuất khẩu giảm liên tục trong giai đoạn này.