Cách 1.Xét hàm số \[g\left( x \right) = m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1\] trên đoạn \[\left[ {\,0\,;\,3\,} \right]\] có \[g'\left( x \right) = m\left( {2x - 2} \right)\]; \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\\x = 1\end{array} \right.\].

Với \(m = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 1,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\), nên loại \(m = 0\).

Với \(m \ne 0\), ta có: \[g\left( 0 \right) = - 2m + 1;\,\,g\left( 1 \right) = - 3m + 1;\,\,g\left( 3 \right) = m + 1\] suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;3} \right]} \,f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;3} \right]} \left| {\,g\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {\, - 2m + 1} \right|;\,\left| {\, - 3m + 1} \right|;\,\left| {\,m + 1} \right|} \right\}\].

Khi đó ta xét các trường hợp

TH1:\[\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 2m + 1} \right| \le \left| {m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| \le \left| {m + 1} \right|\\\left| {m + 1} \right| = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 8\end{array} \right.\] (loại).

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 1} \right| \le \left| { - 2m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| \le \left| { - 2m + 1} \right|\\\left| { - 2m + 1} \right| = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 4\end{array} \right.\] (loại).

TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 1} \right| \le \left| { - 3m + 1} \right|\\\left| { - 2m + 1} \right| \le \left| { - 3m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{8}{3}\end{array} \right.\] (Thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị \[m = - 2,\,m = \frac{8}{3}\] thỏa mãn và tổng của chúng bằng \[\frac{2}{3}\].

Cách 2. Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3\) vì \(x \in \left[ {0;\,3} \right]\) nên \(t \in \left[ {2;\,6} \right]\).

Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left| {m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1} \right| = 7 \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,6} \right]} \left| {mt - 5m + 1} \right| = 7 \Leftrightarrow \max \left\{ {\left| { - 3m + 1} \right|,\left| {m + 1} \right|} \right\} = 7\].

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 3m + 1} \right| \le \left| {m + 1} \right|\\\left| {m + 1} \right| = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 1} \right| \le \left| { - 3m + 1} \right|\\\left| { - 3m + 1} \right| = 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị \[m = - 2,\,m = \frac{8}{3}\] thỏa mãn và tổng của chúng bằng \[\frac{2}{3}\].

Cách 3. Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3\) vì \(x \in \left[ {0;\,3} \right]\) nên \(t \in \left[ {2;\,6} \right]\).

Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left| {m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1} \right| = 7 \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,6} \right]} \left| {mt - 5m + 1} \right| = 7\]

\[ \Leftrightarrow \max \left\{ {\left| { - 3m + 1} \right|,\left| {m + 1} \right|} \right\} = 7 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\left| { - 3m + 1 + m + 1} \right| + \left| { - 3m + 1 - m - 1} \right|} \right) = 7\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\left| { - 2m + 2} \right| + \left| { - 4m} \right|} \right) = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{8}{3}\end{array} \right.\].

Vậy có 2 giá trị \[m = - 2,\,m = \frac{8}{3}\] thỏa mãn và tổng của chúng bằng \[\frac{2}{3}\].

Chọn đáp án C

Môđun của số phức i- căn bậc hai của 2