Mô hình Toán học sau đây được sử dụng trong quan sát các vật trong không gian. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz có i, j, k tương ứng là các véc tơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và đ

14/22

Mô hình Toán học sau đây được sử dụng trong quan sát các vật trong không gian. Trong không gian cho hệ trục toạ độ $Oxyz$ có $\overrightarrow i ;\,\overrightarrow j ;\,\overrightarrow k $ tương ứng là các véc tơ đơn vị trên các trục $Ox;\,Oy;\,Oz$ và độ dài mỗi vectơ đơn vị bằng $1\,$ đề-xi-mét (dm). Mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hoá bởi mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4$ và tiếp xúc với mặt phẳng sàn nhà. Một tấm gỗ mỏng (coi như một mặt phẳng) tiếp xúc với bề mặt quả bóng, phần giao của tấm gỗ và sàn nhà là đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}$. Gọi $A,\,B$ tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và $I$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$.

Hình chiếu của điểm $I$ lên đường thẳng $d$ có toạ độ $\left( {a;\,b;\,c} \right)$. Khi đó $b = 5c$.

ĐúngSai

Một con kiến bò trên bề mặt của quả bóng từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ thì quãng đường ngắn nhất nhò hơn $45\,cm$.

ĐúngSai

Nếu $K$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$ thì $K\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)$ với $t \in \mathbb{R}$.

ĐúngSai

Mặt cầu $\left( S \right)$ bán kính $R = 2$ và $I\left( { - 2;\,1;\,1} \right)$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Điểm $I\left( {2;\, - 1;\, - 1} \right)$.

Gọi $H\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d$.

\[\overrightarrow {IH} \left( { - 4 + 2t;\, - 3t;\,t + 1} \right)\]

Véc tơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow u \left( {2;\, - 3;\,1} \right)$

$\overrightarrow {IH} \bot \overrightarrow u \Leftrightarrow 2\left( { - 4 + 2t} \right) - 3\,\left( { - 3t} \right) + 1\,\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow a = - 1;\,b = - \frac{5}{2};\,c = \frac{1}{2} \Rightarrow b = - 5c\]. Sai

$kính $R = 2$ và tâm $I\left( {2;\, - 1; - \,1} \right)$. Sai (ảnh 1)$

Vì $A,\,B$ tương ứng là tiếp điểm của tấm gỗ, sàn nhà với quả bóng và $I$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ nên $IA \bot d,\,IB \bot d$

\[H\left( { - 1;\, - \frac{5}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\]lên \[d\]

\[IA = R = 2,\,IH = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1,5} \right)}^2} + {{\left( {1,5} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

Xét \[\Delta IAH\] vuông tại \[A\]

\[cos\frac{\alpha }{2} = cos\widehat {AIH} = \frac{R}{{IH}} = \frac{2}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{4}{{3\sqrt 6 }} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} \simeq {57^0} \Rightarrow \alpha \simeq {114^0} \simeq 1,99\,rad\].

Do đó . Đúng

c) Phương trình tham số của $d$: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R} \Rightarrow K \in d$, toạ độ $K\left( { - 2 + 2t;\, - 1 - 3t;\,t} \right)$. Đúng

d) Ta có mặt cầu $\left( S \right)$: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4$ bán kính $R = 2$ và tâm $I\left( {2;\, - 1; - \,1} \right)$. Sai