Mệnh đề nào sau đây là đúng?

10/22

Hàm số \(y = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \({x_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

\({x_0} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

\({x_0} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

\({x_0} = \pi + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

\({x_0} = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Ta có \(y = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2 = 1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2\)

\( = - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3 = - {\left( {\sin x - 1} \right)^2} + 4.\)

Mà −1≤sinx≤1→−2≤sinx−1≤0→0≤sinx−12≤4

→0≥−sinx−12≥−4→4≥−sinx−12+4≥0.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(0\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)