Mệnh đề nào sau đây là đúng?

11/22

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}\) và \(g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

\(f\left( x \right)\) lẻ và \(g\left( x \right)\) chẵn.

\(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) chẵn.

\(f\left( x \right)\) chẵn, \(g\left( x \right)\) lẻ.

\(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) lẻ.

Giải thích

Đáp án đúng là: B

- Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}.\)

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - 3x} \right)}} = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}} = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

- Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}.\)

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \[g\left( { - x} \right) = \frac{{\left| {\sin \left( { - 2x} \right)} \right| - \cos \left( { - 3x} \right)}}{{2 + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}} = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}} = g\left( x \right)\] là hàm số chẵn.

Vậy \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) chẵn.